Continuité de la différentielle d'une fonction

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice sur le calcul différentiel, j'essaye de calculer la différentielle du déterminant.

Je l'ai calculé sur L'ensemble des matrices inversibles de Mn(R) et j'ai trouvé que c'est l'application qui à toute matrice A inversible associe l'application : où B est la transposée de la comatrice de A


J'aimerais bien conclure pour toute matrice de Mn(R) avec un argument de continuité, mais je n'arrive pas à montrer que la différentielle d'une fonction est continue.

Si quelqu'un peut m'aider svp

[Doraki]

C'est quoi ta preuve que c'est ça pour les matrices inversibles ?
T'es sûr que tu as besoin de supposer A inversible dans ta preuve ?

[jonses]

J'ai d'abord justifier le fait que det est differentiable sur Mn(R) (somme et produit de fonctions diferentiables)

Ensuite j'ai determiné la differentielle en In de det : je trouve que c'est la trace

Ensuite je prend une matrice inversible A et j'ecris : det(A + H)= det(A)det(I+ A^-1 x H)

Et donc det(A+H)=det(A)[I+tr(A^-1 x H) +o(H)]=det(A)+tr(BH) + o(H)


Enfin je voulais conclure en utilisant le fait que l'ensemble des matrices inversibles est dense, mais il me faudrait la continuité de la differentielle (l'application qui à toute matrice A associe la differentielle en A de det)


J'ai essayé mais je n'arrive pas, et pourtant j'ai lu quelque part (sur un autre forum) que la differentielle est effectivement continue.

C'est pourquoi je voulais savoir si c'était possible de montrer la continuité de la differentielle, ça me permettrait aussi de conclure d'autres exo que je suis en train de faire

[Doraki]

ben det(A+H) c'est un polynôme en les coefficients de A et de H, donc ...

[jonses]

ben det(A+H) c'est un polynôme en les coefficients de A et de H, donc ...

donc l'application qui à (A,H) couple de matrice associe det(A+H) est continue. Je vois pas quoi d'autre dire, et je vois pas trop comment conclure que la différentielle est continue. Là j'ai besoin d'un peu d'aide svp :jap:

[Doraki]

... donc la différentielle c'est ce que tu obtiens quand tu gardes seulement les monômes de degré 1 en les coefficients de H.

Tu as déjà calculé une dérivée partielle d'un polynôme ? det c'est juste un polynôme de degré n en n² variables.

[jonses]

... donc la différentielle c'est ce que tu obtiens quand tu gardes seulement les monômes de degré 1 en les coefficients de H.

Tu as déjà calculé une dérivée partielle d'un polynôme ? det c'est juste un polynôme de degré n en n² variables.

On a commencé récemment le calcul différentiel en cours, et on a fait quelques calculs de dérivée partielle, mais pas encore sur des polynômes.

Donc en fait, la continuité de la différentielle marche ici pour det, mais ce n'est pas vrai en général ?

Mais peut-être que je me suis mal expliqué, je voulais savoir :

pour une fonction f donné allant de E dans F deux espaces vectoriels normés de dimension finie qu'on suppose différentiable sur E,
est-ce que la fonction qui à un point a de E associe l'application d(f)(a) , avec d(f)(a) la différentielle de f en a, est continue ?

[Doraki]

Non, par exemple E = F = R et f(x) = x²sin(e^1/x) si x <> 0, et f(0)= 0

[jonses]

Ah ok ! Je me disais bien que c'était pas possible en général, mais ça marche dans le cas du déterminant si j'ai bien compris ?