Continuité et différentiabilité

par **nivéa** » 19 Aoû 2008, 18:18

Bonjour à tous,

je suis en L2 physique et je suis restée bloquer :cry: sur la compréhension du cours qui conserne la continuité d'une fonction et de sa différentiabilité.

Exemple: f(x,y)= xy/(x²+y²)^1/2 si (x,y) différent de(0,0)
0 si (x,y)=(0,0)

ce que j'ai pu comprendre c'est qu'il faut passer par les coordonnées polaires.
mais ce que j'arrive pas trop à comprendre c'est la différentiabilité.

Merci.

par **MacManus** » 19 Aoû 2008, 21:14

Bonsoir

Soit l'ouvert

( privé du point (0,0) )

Si

a des dérivées partielles en tout point de

et si ses dérivées partielles sont continues en tout point de U, alors f est différentiable en tout point de

:

pour

, tu peux donc calculer les dérivées partielles

et

et vérifier qu'elle sont continues sur

. (donc que f est différentiable sur U)

Après tu peux vérifier si f admet des dérivées partielles au point (0,0), cad en calculant les dérivées partielles en (0,0), puis voir enfin si f est différentiable en (0,0) (cad si les dérivées partielles sont continues en (0,0)). Si tel est le cas, alors f est différentiable sur

tout entier.

Voilà j'espère ne pas dire de bêtises.

par **nivéa** » 19 Aoû 2008, 21:50

bonsoir,

merci pour votre réponse, mais tout cela me reste encore un peu flou.
Est ce que ce serai possible de m'expliquer avec l'exemple que j'ai mis.

f(x,y)= xy/(x²+y²)^1/2 si (x,y) différent de (0,0)
0 si (x,y)=(0,0)

Merci. :happy2:

par **MacManus** » 19 Aoû 2008, 22:08

Pour la différentiabilité :

sais-tu calculer dans un premier temps

et

??

par **nuage** » 19 Aoû 2008, 22:15

Salut,
la fonction que tu donnes n'est pas différentiable en (0;0).

Pour le voir tu peux regarder ce qui se passe si

(ce que je trouve assez parlant) :

Ce qui est notoirement non dérivable...

par **MacManus** » 19 Aoû 2008, 22:21

oui j'ai utilisé la même idée que toi mais avec les dérivées partielles :
en choisissant x=y, j'obtiens

qui ne tends pas vers (0,0) quand (x,x) tends vers (0,0)... on peut dire ça ???(en gros les dérivées partielles ne sont pas continues en (0,0) donc f n'est pas différentiable en (0,0) )

par **nivéa** » 19 Aoû 2008, 22:32

mais est ce que dans cet exemple je peux utiliser les coord. polaires pour justifier que ma fonction est continue ou pas?

merci

par **xyz1975** » 19 Aoû 2008, 22:43

Bonsoir,
La fonction est continue en (0;0) puisque la limite (en posant x=rcos(@) et y=rsin(@)) est égale à zéro.

par **nivéa** » 19 Aoû 2008, 22:50

xyz1975 a écrit:Bonsoir,
Vous ne pouvez pas justifier que f est discontinue avec les coordonnées polaires.
Attention j'ai modifié mon message, j'ai pas vu le 1/2 comme puissance.

Il me semblé pour étudier la continuité d'une fonction on pouver s'aider des coord. polaire.

par **nuage** » 19 Aoû 2008, 22:52

nivéa a écrit:mais est ce que dans cet exemple je peux utiliser les coord. polaires pour justifier que ma fonction est continue ou pas?

merci

Oui
Pour la continuité en (0;0) on peut remarquer que

[modification1] Sauf vraisemblable erreur de calcul de ma part.
[modification2] erreur évidente :

par **xyz1975** » 19 Aoû 2008, 22:55

Je suis désolé (c'est la fatigue de la journée). On peut effectivement utiliser les coordonnées polaires pour montrer que cette fonction est continue, si vous remplacez x par r.cos(@) et y par r.sin(@) on trouvera après passage à la limite lorsque r tend vers zéro que cette limite n'est autre que 0=f(0;0).

par **xyz1975** » 19 Aoû 2008, 22:57

Juste une erreur de frappe

par **nivéa** » 19 Aoû 2008, 23:01

xyz1975 a écrit:Bonsoir,
La fonction est continue en (0;0) puisque la limite (en posant x=rcos(@) et y=rsin(@)) est égale à zéro.

pour etre sur de bien comprendre, pour voir si une fonction est continue ou pas on peux utiliser la méthode des coord.polaire?! ou cela dépend de la fonction à étudier?!!!

par **nuage** » 19 Aoû 2008, 23:06

xyz1975 a écrit:Juste une erreur de frappe

C'est la bonne réponse (contrairement à ce que j'ai dit un peu plus haut).

par **xyz1975** » 19 Aoû 2008, 23:08

nivéa a écrit:pour etre sur de bien comprendre, pour voir si une fonction est continue ou pas on peux utiliser la méthode des coord.polaire?! ou cela dépend de la fonction à étudier?!!!

Il faut que se mette d'acord qu'on parle de continuité en un point bien précisé (sur un domaine c'est autre chose).
N'oubliez pas que la continuité est une notion de limite, c'est à dire parler de continuité ou de limite c'est la même chose pour le moment.
On utilise les coordonnées polaires pour calculer les limites.
Pour simplifier l'exposé je me limite au point (0;0).
Après avoir remplacé x par r.cos(@) et y par r.sin(@) on fait tendre r vers zéro pour toute valeur de @, deux cas de figures se présentent :
Si le résultat dépend de @ alors cette limite n'existe pas.
Si le résultat est un réel indépendant de @ et s'il est égal à f(0;0) alors f est continue en ce point sinon elle n'est pas continue.

par **nuage** » 19 Aoû 2008, 23:14

nivéa a écrit:pour etre sur de bien comprendre, pour voir si une fonction est continue ou pas on peux utiliser la méthode des coord.polaire?! ou cela dépend de la fonction à étudier?!!!

On peut utiliser la méthode des coordonnées polaires.
Mais ce n'est pas la seule. La méthode a utiliser dépend effectivement du problème.

par **nivéa** » 19 Aoû 2008, 23:19

xyz1975 a écrit:Il faut que se mette d'acord qu'on parle de continuité en un point bien précisé (sur un domaine c'est autre chose).
N'oubliez pas que la continuité est une notion de limite, c'est à dire parler de continuité ou de limite c'est la même chose pour le moment.
On utilise les coordonnées polaires pour calculer les limites.
Pour simplifier l'exposé je me limite au point (0;0).
Après avoir remplacé x par r.cos(@) et y par r.sin(@) on fait tendre r vers zéro pour toute valeur de @, deux cas de figures se présentent :
Si le résultat dépend de @ alors cette limite n'existe pas.
Si le résultat est un réel indépendant de @ et s'il est égal à f(0;0) alors f est continue en ce point sinon elle n'est pas continue.

Merci, grace à vous je comprend déjà mieux l'histoire de la continuité d'une fonction.

Mais reste la différentiabilité d'une fonction, est-ce-que la continuité est liée à la différentiabilité?!!

par **MacManus** » 19 Aoû 2008, 23:22

Dans cet exemple, f est continue sur R²\{0,0} (par construction si je puis dire... ?) mais également en (0,0), on vient de le montrer. Finalement f est continue sur R tout entier.

Au brouillon j'ai montré que f est différentiable sur R²\{0,0} mais pas en (0,0).
je n'ai pas utiliser les coordonnées polaires d'ailleurs...
Comment le montrer avec les coordonnées polaires ?

par **nivéa** » 19 Aoû 2008, 23:23

nuage a écrit:C'est la bonne réponse (contrairement à ce que j'ai dit un peu plus haut).

pourriez-vous détailler la manière donc vous procéder pour résoudre la fonction avec les coor.polaire. :hein:

moi (sauf erreur de ma part) je trouve f(r,@)=rcos@sin@.

Merci

par **MacManus** » 19 Aoû 2008, 23:28

c'est exact !

mais si tu connais tes formules, tu sais que sin(2@) = 2 sin(@)cos(@)... :id:

f(r,@) = r cos(@)sin(@) = [ r 2 sin(@)cos(@) ] / 2 = r sin(2@) / 2

Continuité et différentiabilité

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