Continuité et différentiabilité

[xyz1975]

Merci, grace à vous je comprend déjà mieux l'histoire de la continuité d'une fonction.

Mais reste la différentiabilité d'une fonction, est-ce-que la continuité est liée à la différentiabilité?!!

Je rejoinds nuage (je le respecte énormément) pour l'idée qu'il existe d'autres méthodes pour prouver ou non la continuité d'une fonction à plusieurs variables, histoire de choisir des chemins, des encadrements, DLs,...etc)
Par rapport à la différentiabilité MacManus a bien dit les chose :
Il faut d'abord faire la différence entre la différentiabilité en un point ou la différentiabilité sur un "domaine" inclus dans l'ensemble de définition.
Dans tous les cas :
La différentiabilité de f en veut dir que toutes ses dérivées partielles existent et soit continues en (valable aussi si on remplace par un ouvert de l'ensemble de définition).

[nivéa]

Pour la différentiabilité :

sais-tu calculer dans un premier temps et ??

je ne suis pas sur de ma réponse, comment faite-vous.

[xyz1975]

je ne suis pas sur de ma réponse, comment faite-vous.

Pour calculer on considère y comme constante et la variable c'est bien x, ce calcul est valable uniquement pour tout
Donnez moi vos résultats si vous êtes encore là.

[MacManus]

eh bien on a un quotient
en dérivanr , on a : où u = xy et v = avec v = (u,v,w étant des fonctions de x et y) => Donc attention lorsque tu dérives par rapport à x ou à y

[xyz1975]

Oui c'es bien ça, sachant qu'ici on n'a pas besoin de calculer une dérivée si on a calculé l'autre, il suffit d'observer que x et y jouent un rôle symétrique.

[MacManus]

oui tu as raison de le préciser xyz1975 !

[nivéa]

eh bien on a un quotient
en dérivanr , on a : où u = xy et v = avec v = (u,v,w étant des fonctions de x et y) => Donc attention lorsque tu dérives par rapport à x ou à y

en dérivant par rapport à x u=xy => u'=y nan!!

[xyz1975]

en dérivant par rapport à x u=xy => u'=y nan!!

Oui c'est bien ça.

[MacManus]

oui si tu dérives xy par rapport à x, tu as bien u' = y (y est une constante ici comme xyz1975 l'a dit )

[nivéa]

Oui c'est bien ça.

et dite-moi si je me trompe
v=(x²+y²)^1/2 v'=>1/2(x²+y²)^(-1/2)*2x
v'=>x(x²+y²)^(-1/2)

voyez je suis plus tres sur la !! :doh:

[xyz1975]

et dite-moi si je me trompe
v=(x²+y²)^1/2 v'=>1/2(x²+y²)^(-1/2)*2x
v'=>x(x²+y²)^(-1/2)

voyez je suis plus tres sur la !! :doh:

Oui c'est correct.

c'est un message que j'ai voulu poster :

Je rappelle d'abord que la dérivée de est
La dérivée de par rapport à x est :

[MacManus]

la dérivée de est \sqrt{u}}"/>

juste un oubli

[MacManus]

silence radio ! je pense qu'elle dérive :happy3:

[xyz1975]

silence radio ! je pense qu'elle dérive :happy3:

Elle justifie la différentiabilité....silence :we: :zen:

[nivéa]

silence radio ! je pense qu'elle dérive :happy3:

je ne me sens pas convaincu

[xyz1975]

je ne me sens pas convaincu

De quoi? précisez.

[nivéa]

De quoi? précisez.

quand on trouve une fonction continu, on cherche si elle est différentiable ou non avec les dérivée 1ère!!!

et c'est grace aus dérivé partielle qu'on peut conclure si la fonction est diff. ou non!!!

[MacManus]

mmmm non c'est un piège ! Si une fonction f est dérivable sur un intervalle I de R (par exemple), alors elle est continue sur I (MAIS la réciproque est fausse)

[xyz1975]

en fait, quand une fonction est continue elle doit etre forcement différentiable ou nan, je m'embrouille les stylos.

Je suppose que vous avez bien compris la notion de continuité.
revenons un peu aux fonctions numériques à variable réelle c'est à dire de IR dans IR on connaît très bien le résultat qui dit que :

f est dérivable en un point (ou sur une partie) alors f est continue (en ce point ou sur cette partie).
La réciproque est fausse en générale comme contre exemple la fonction valeur absolue qui est continue en 0 mais n'est pas dérivable.

Vous pouvez remplacez maintenant "dérivable" par "différentiable" dans le cas des fonctions numériques à variable vectorielle, par exemple la fonction proposée dans cet exo.

[nuage]

Une remarque heuristique :
Quand on a une fonction donnée par une formule, le plus souvent, on a des théorèmes qui assurent qu'elle est presque partout.
Reste à examiner quelques points.
Et les théorèmes généraux sont, la plus part du temps, trop forts ou trop faibles.
Il vaut mieux, à mon avis, commencer par regarder «à la main» ce qui se passe.

Par exemple une fonction différentiable est lisse (ie localement elle ressemble à une application linéaire).
On peut donc chercher des contres exemples.
Si on a un peu plus d'expérience on peut aussi voir qu'une application du genre déchire le plan quand tend vers zéro. Car des points symétriques par rapport à 0 ont la même image.

Une dernière remarque : la continuité et la différentiabilité sont des propriétés très fortes dès que l'on passe à des fonctions de dans .
Et, sauf cas évident, il faut commencer par chercher des contres exemples.