Connexité du produit

[Zebulon]

Bonjour,
j'aimerais montrer que si A et B sont deux espaces topologiques connexes, alors est connexe. Mais je n'y arrive pas parce que les ouverts du produit ne sont pas des produits d'ouverts de A et B.
Je voulais essayer de montrer que si A est connexe et est non connexe, alors B est non connexe (car je préfère manipuler des non connexes que des connexes).
Je ne vois pas du tout comment faire. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

[alben]

Bonjour,
Je suis d'accord avec ta démarche.
Si A est connexe et B non connexe, il existe deux ouverts B1 et B2 disjoints tels que B=B1UB2
Alors AxB=(AXB1)U(AXB2) et leur intersection est bien vide.
Par définition de la topologie produit, AXB1 et AXB2 sont bien des ouverts ...
En fait cela découle presque directement des définitions, me semble-t-il !

PS j'avais mal vu ton message

Mais je n'y arrive pas parce que les ouverts du produit ne sont pas des produits d'ouverts de A et B.

C'est vrai mais le produit d'ouverts de A et B est un ouvert de AXB
Cela résulte de l'intersection de AXOb avec OaXB qui est un ouvert...

[Zebulon]

Mais ça, ça montre que si est connexe, alors A et B sont connexes. C'est l'autre implication que je veux prouver.
En fait, je crois avoir trouvé une démonstration :


Soit A connexe et supposons non connexe, alors il existe continue non constante : tels que et .

1). Si , considérons . est continue et et avec donc n'est pas constante donc n'est pas connexe. Contradiction : A est connexe et homéomorphe à .

2). Si , A est connexe donc est constante et donc .
Considérons . Alors est continue et , avec donc n'est pas constante et donc B n'est pas connexe.

C'est correct ? Merci quand même, Alben ! :we:

[alben]

Bonsoir,
Oui, j'ai vraiment tout mélangé :stupid_in
Juste une remarque, en lisant ta démo, je ne suis pas sur que le raisonnement par l'absurde soit le plus direct.
En prenant f comme tu le fais de AXB vers {0;1} on peut assez facilement montrer qu'elle est constante.
Il suffit de choisir ao et bo quelconques dans A et B et de définir les fonctions

[alben]

Bonsoir,
Oui, j'ai vraiment tout mélangé :stupid_in
Juste une remarque, en lisant ta démo, je ne suis pas sûr que le raisonnement par l'absurde soit le plus direct.
En prenant f comme tu le fais de AXB vers {0;1} on peut assez facilement montrer qu'elle est constante.
Soient deux couples (a,b) et (a',b') et les fonctions
Elles sont continues (composition de f et de l'injection canonique)
Comme A et B sont connexes, elles sont constantes
Et ga(b)=ga(b')=>f(a,b)=f(a,b') et h(a')=h(a)=>f(a',b')=f(a,b')...
C'est exactement ta démo mais un peu plus court dans le sens direct :we:

[Zebulon]

OK, merci beaucoup. C'est vrai que c'est plus rapide !
A bientôt !