Connexité d'un domaine

[Dylaa2n]

Bonjour,

J'ai un peu du mal à comprendre les concepts de connexité d'un domaine..

Selon moi, un domaine connexe est un domaine où, pour n'importe quelle paire de points appartenant au domaine, on peut tracer au moins un chemin reliant les deux points sans sortir du domaine.

Mais, par exemple, je me demande quelle est la différence entre un domaine simplement connexe et un domaine connexe?
Je sais que R² \(0,0) n'est pas simplement connexe mais que R³\(0,0) l'est, mais je ne comprends pas comment le déterminer...

On m'a parlé de lacets et de boucle pouvant se refermer sans passer par le point critique, mais cela reste assez vague pour moi

Merci pour votre aide.

[zygomatique]

salut

et si tu allais lire la définition sur le net ....

[paquito]

Commence par-{0} qui n'est pas connexe, alors que-{0,0} est connexe par arcs de classe (des arcs de cercle) et donc et ne sont pas homéoorphes.

[L.A.]

Bonjour,

Dans cette image, est-ce que tu préfères attacher ton vélo

(1) au poteau tout à gauche ?
(2) à la barrière juste à droite ?

Si l'ouvert désigne l'espace privé de toutes les choses solides qui s'y trouvent, et que ton antivol est représenté par un lacet continu c, ton choix se ramène (à quelques contraintes physiques près) à une question d'homotopie dans E. En effet, supposons que l'antivol puisse être allongé ou rétréci à volonté et qu'il passe par un point fixe x de E situé dans le garage d'un type mal intentionné. Est-ce que le type peut déformer continûment c (simplement en tirant dessus) de façon à le ramener totalement en x ? Dans la situation (2) il ne pourra pas : quoi qu'il fasse l'antivol fera toujours une boucle dans la barrière. Dans la situation (1) il pourra (si toutefois l'antivol ne passe pas à travers d'autres barrières en chemin).

En bref, de la non simple connexité de E dépend l'efficacité du système de l'antivol de vélo.

[mathelot]

tu as plusieurs notions de topologie
- connexes
- connexes par arcs
- simplement connexe

- localement connexes
- localement connexes par arcs

déf 1:connexe

Un espace E est connexe s'il n'est pas la réunion
de deux ouverts disjoints, non vides
Un espace est connexe par arc si pour tout couple
de points (x,y), il existe un chemin joignant x à y
déf 2:localement connexe

Un espace est localement connexe par arcs si tout point
admet une base de voisinages connexes par arcs
Un espace est localement connexe si tout point
admet une base de voisinages connexes

thm: l'adhérence d'un connexe est connexe.

exemple de connexe et LC , non connexe par arcs et non LCA



où C(f) est la courbe de

cf. Bertrand Hauchecorne "les contre-exemples en mathématiques"