Congruence

[minisac]

Bonjour, je suis en DUT informatique et nous avons un exercice de mathématique à faire pendant les vacances.
je vous explique le problème:

démontrer que pour tout n\{0,1}€N :

7^n-7^(n-2) -12 = 12 [36]

j'ai demander un petit indice à mon professeur de math et en ai déduit que

7^n-7^(n-2) -12 = 7^(n-2)*(7^2 - 1) -12 = 48*7^(n-2) -12

il me dit ensuite que ce nombre doit être un multiple de 36. On factorise alors par 12 et on obtient:

12*(4*7^(n-2) -1)

comme 36=12*3 il faut prouver que

(4*7^(n-2) -1) est un multiple de 3

pour prouver au final que 12*(4*7^(n-2) -1) est un multiple de 36.

J'ai compris le raisonnement et les calculs, mais je voudrais savoir la question suivante:

1°)Comment prouver que (4*7^(n-2) -1) est un multiple de 3 ??? :hum: :doh: :hum:


2°)Si au final on prouve que 12*(4*7^(n-2) -1) est un multiple de 36 alors on écrira:
12*(4*7^(n-2) -1)=0[36]

et non:

12*(4*7^(n-2) -1)=12[36]

Non? :hein: (Si c'est le cas comment se fait il que le 12 est parti? Par la factorisation?)


Je vous remercie d'avance pour toutes les réponses que vous pourrez m'apporter.

Bien à vous,

Minisac

[alavacommejetepousse]

bonjour

modulo 3

4 = 1 et 7= 1 d'où le résultat

[minisac]

Merci pour cette réponse plus que... rapide :++:

Donc si j'ai bien compris ce que tu as dit,
48*7^(n-2) -12=12[36]

on factorise par 12:

12*(4*7^(n-2) -1)=0[36] pour tout n€N\{0,1}

(1*1^(n-2)-1)=0[3] donc (4*7^(n-2) -1) est un multiple de trois pour tout n€N\{0,1}

ainsi 12*(4*7^(n-2) -1)=0[36]

et

48*7^(n-2) -12=12[36]

????

[alavacommejetepousse]

voila voila

[minisac]

Très bien,

Merci beaucoup pour les réponses plus que rapides.

A bientôt pour un nouveau problème peut être :marteau:

Bonne journée et bonne année au passage !

[alavacommejetepousse]

merci de même