[espace vectoriel] confirmation et questions

[minirop]

bonjour,
en septembre j'ai le rattrapage de ma 1ère année de licence de math-info, je refais les exercices de la session de juin et j'aimerais savoir si mes calculs sont bons.

-------------------------------------------------------------------
Exercice 1:
Soit u l'endomorphisme de défini par :

1/ Écrire la matrice A de u dans la base canonique B de
2/ calculer det(A). L'application u est elle inversible ? Que peut-on dire de son image et de son noyau ?
-------------------------------------------------------------------

Réponses
1/ Je trouve

2/ je trouve :
det(A) = 8
Si je calcules f(x,y,z) = 0, je trouve, x = y = z = 0 donc :
elle est inversible (je sais jamais), son noyau est vide et son image est
ai-je bon ?

questions :
c'est après que je bloques, on a :
-------------------------------------------------------------------

3/ Prouver que H est un sev de .
4/ trouver un système d'équations de H, une base puis la dimension de H.
-------------------------------------------------------------------
il suffit de montrer certaines lois comme , mais après je m'embrouilles et je me perds. (je ne veux pas les réponses, juste des pistes, en gros quelles formules utiliser)

merci.

[Sylar]

Bonsoir,
Pour le déterminant c'est bien ça ....

Det(A)=8 différent de 0 donc A inversible ....

Aussi rg(A)=3 donc c'est bien inversible ....

3/sev=non vide ;stable par + et 0. .....

[Skullkid]

Bonsoir, la question 1 est bonne. Pour la question 2, tu as bon, sauf pour le noyau : un espace vectoriel n'est JAMAIS vide, ici, le noyau de u est l'espace nul, c'est-à-dire {0}, et son image est bien .

Pour la question 3 : pour montrer que H est sous-espace vectoriel de tu dois montrer deux choses :
- (0 désigne le vectur nul)
-

Pour la question 4, tu prends un élément v = (x,y,z) de et tu traduis le fait que u(v) = 2v.

[minirop]

un espace vectoriel n'est JAMAIS vide, ici, le noyau de u est l'espace nul, c'est-à-dire {0}

erreur d'inattention :euh:

- (0 désigne le vectur nul)

ce qui donne :

?

-

donc je prends par exemple :

et je fais :

et comme on peut dire que :

CQFD ?

merci.

[Skullkid]

Un vecteur v appartient à H si et seulement si u(v) = 2v.

Donc pour prouver que 0 appartient à H, tu dois montrer que u(0) = 2*0 = 0 (ce qui est évident). Par contre, la deuxième propriété, tu dois la montrer pour TOUS x,y de H et . Autrement dit tu dois faire du calcul formel, et pas prendre des exemples.

En gros ça commence par : "soient et , montrons que , c'est-à-dire que ."

[minirop]

En gros ça commence par : "soient et , montrons que , c'est-à-dire que ."

ce que je n'aime pas en somme

j'ai essayé et j'obtiens sur :

c'est bon ?

[Skullkid]

A priori oui, mais en lisant l'égalité on a l'impression que c'est flou...Il y a plus simple, tu n'es pas obligé de manipuler toutes les coordonnées, ça risque de t'embrouiller. Regarde :

Soient et . u est linéaire donc (car ), c'est-à-dire . Cqfd.

[minirop]

Soient et . u est linéaire donc (car ), c'est-à-dire . Cqfd.

en effet c'est beaucoup plus simple/court.

merci

[fahr451]

bonsoir
le plus rapide reste quand même de voir que H = ker(u-2id)

[Skullkid]

J'y avais même pas pensé :mur:

[minirop]

4/ trouver un système d'équations de H, une base puis la dimension de H.

faut il que je fasse :

en faisant çà j'ai trouver :

donc la famille {(1,1,0)} est une base de H ? Et donc dim(h) = 1 ? correct ? Et pour le système d'équation :s ?

dernières choses :
1/ A = matrice de B et U = matrice de B'
Pour calculer la matrice de passage de B à B', faut il faire :
A1 = a*U1 + b*U2 + c*U3 ou U1 = a*A1+b*A2+c*A3
donc :
(-1,3,1) = a(1,1,0) + b(-1,0,1) + c(-1,1,3)
ou
(1,1,0) = a(-1,3,1)+b(2,0,2)+c(1,-1,-1)
le choix colonne/ligne est-il bon ? (en gros, est ce que pour A1,A2 et A3 je prends les lignes et pour U1,U2 et U3, les colonnes ?)

2/ La matrice de passage est elle bien l'inverse de P ?

3/ pour calculer la matrice A de u dans la base B' faut bien faire :
u(b') = P(b'->b)*u(b) ?

merci