Composition de relations d'équivalence

[ephasme]

Bonjour,

Je suis en train de bosser sur un exercice d'algèbre à propos des Relations binaires.
Je vous présente le problème :

Si on sait que R et S sont deux relations d'équivalence, comment prouver que RoS est une relation d'équivalence, sachant que RoS = SoR ?

J'ai réussi à prouver la réflexivité et la symétrie mais je bloque sur la transivitité.

Je ne demande pas la réponse mais simplement quelques indices pour me permettre d'avancer dans mes réflexions.

Merci à vous.

[Ben314]

Salut,
A quoi ça correspond la notation RoS ?

[ephasme]

o = composition

[Ben314]

o = composition

Ben, ça m'arrange pas trop : pour moi, la composition fog ça a un sens pour f et g deux applications telles que l'ensemble d'arrivé de g soit le même que l'ensemble de départ de f et je vois pas comment regarder des relations binaires de façon à avoir le droit de les composer.
Pour moi, une relation binaire sur un ensemble X, on peut la voir comme une partie de X² ou (ce qui revient au même) comme une application de X² dans {Vrai,Faux}.

Donc je repose ma question : sur Z, si par exemple la relation R est la relation de congruence modulo 5 et que S est la relation de congruence modulo 7, c'est quoi RoS ?

[Nightmare]

Hello Ben !

Par définition il me semble que x RoS y s'il existe z tel que xSz et zRy ! (avec S relation de E dans F, R de F dans G et z dans F.)

[Ben314]

Hello Ben !

Par définition il me semble que x RoS y s'il existe z tel que xSz et zRy ! (avec S relation de E dans F, R de F dans G et z dans F.)

C'est... plausible : ça correspond à la composition pour des "applications multivoques"

[Ben314]

Si la définition proposée par Nightmare est correcte, c'est assez évident :
Si (x RoS y) et (y RoS z) alors
- Il existe a tel que (x R a) et (a S y)
- Il existe b tel que (y S b) et (b R z) {car RoS=SoR}
Comme (a S y) et (y S b) on a (a S b) ce qui signifie que (a SoR z) et donc que (a RoS z) :
Il existe c tel que (a R c) et (c S z)
Comme (x R a) et (a R c) on a (x R c) ce qui signigie que (x RoS z)