Complexe

[Maneeeel]

Bonsoir,
Z appartient a C
On a |1+Z|<1/2
et montrons que
|1+Z^2| >1
J ai essayé de simplifier plusieure fois mais sa n a pas marcher, merci d avance pour l indication

[Ben314]

Salut, je ne sais pas quelle est la démonstration "purement calculatoire" la plus simple, mais graphiquement parlant, le résultat est assez évident :
Le fait que |z+1|<1/2 signifie que z est dans le disque de centre -1 de rayon 1/2 et on voit clairement sur un dessin que le disque est contenu dans le "secteur" des complexes ayant un argument strictement compris entre 3.pi/4 et 5.pi/4.
Donc z² est dans le "secteur" des complexe ayant un argument strictement compris entre 3.pi/2 et 5.pi/2 c'est à dire des complexe de partie réelle strictement positive.
z² ne peut donc pas être dans le disque fermé de centre -1 et de rayon 1 : |z²+1|>1

Au pire, c'est évidement faisable en écrivant que z=x+iy et, en commençant par montrer ce qui est géométriquement évident, c'est à dire que la partie réelle de z², (à savoir x²-y²) est strictement positive.

[zygomatique]

salut

une alternative géométrique sans passer par les angles :



où A, B, C, M sont les points d'affixes -1, i, -i et z

puisque M appartient au disque de centre A et de rayon 1/2 il y a symétrie par rapport à l'axe des abscisses et

donc les extremums (éventuellement locaux) de f ont lieu sur le bord du disque et sur l'axe des abscisses donc lorsque z = -1/2 ou z = -3/2

f(-3/2) = 3,25 et f(-1/2) = 1,25

donc f(z) > 1

[Ben314]

...il y a symétrie par rapport à l'axe des abscisses...
donc les extremums (éventuellement locaux) de f ont lieu sur le bord du disque et sur l'axe des abscisses...

Je vois pas bien le rapport entre le fait qu'il y ait symétrie et le fait que les extrémums soient forcément "au bord" ou sur l'axe de symétrie.
Tu pense vraiment que, par exemple, si une fonction de [-1,1] dans R est paire, ça va impliquer que ces extrémums sont forcément en -1, 0 ou 1 ?

[zygomatique]

en -1 et en 1 je n'affirmerai rien mais en 0 je pense que oui ...

en supposant f dérivable on a

f(x) = f(-x) => f'(x) = -f'(-x) et en 0 on a f'(0) = - f'(0) donc f'(0) = 0 et on a un extremum (local) ... et je ne dis pas qu'il n'y en a pas "à l'intérieur"


maintenant pour revenir à mon modèle f(z) = MB.MC

si N est à gauche de M <=> Re(z_N) < Re(z_M) alors f(z_N) > f(z_M)

si z = a + ib

alors a --> f(z) est décroissante pour tout b fixé
et b --> f(z) est paire pour tout a fixé

[Ben314]

Certes, sauf que ce que tu démontre avec ta dérivée, ça démontre absolument pas que la fonction atteint son maximum soit en 0, soit "au bord" : tu montre que 0 est (éventuellement) un max local mais absolument pas que c'est le seul de [-1,1] (et pour cause... vu que c'est faux...)

Ta "fonction paire" b->f(z) qu'est ce qui te dit que c'est pas un truc du style b->b²(b-1)²(b+1)² qui est
- Positive sur [-1,1]
- Paire
- Et dont le maximum n'est surement pas en 0 ou en +-1 vu qu'en ces valeurs là elle est nulle.

[chan79]

salut
une illustration (pas une démo):
en bleu le disque de centre (-1,0) et de rayon 1/2
en rouge, son image par la fonction f: Z --> 1+Z²
On obtient un limaçon de Pascal (à méplat)
Si le point d'affixe Z est dans la zone bleue, f(Z) est dans la zone rouge et son module est supérieur ou égal à 1,25.

[zygomatique]

chan79 : je me suis amusé aussi avec géogebra et j'ai une question :

construire le disque bleu et un point dans domaine ne pose pas pb ... (mais enfin vu tes points B et C je suis tout de même curieux de savoir comment tu as fait)

comment as-tu construit le domaine de z' ?

merci par avance ...

PS: si je comprends bien (vu ta formule z' = 1 + z²) tu as travaillé avec des points "en complexe" ?


ben314 : cette ce n'est peut-être pas un maximum en 0 ou en +-1 avec l'exemple de ta fonction mais on a toujours un extremum local (ici un minimum local qui est global vu que ta fonction est positive)

ici f(z) = BM.CM = f(x, y) vérifie f(x, y) = f(x, -y) donc sur toute chemin x = k du domaine (le disque) f(k, 0) est un extremum local (mais je n'en connais pas la nature effectivement)

et sut tout "rayon" [A,D] du disque f(z_A) et f(z_D) sont des extremums locaux aussi

[chan79]

Oui , j'ai placé un nombre complexe Z sur le cercle.
puis Z'=1+Z²
puis le lieu de Z' quand Z varie

[zygomatique]

bon en espérant que ça marche ...

[img]https://www.dropbox.com/s/r12nz9f3pioaoni/complexes%20%281%29.png?dl=0[/img]

sur cette première figure on voit la trace des points P et Q

Q a été défini comme chan79

P a pour coordonnées x = AM = |1 + z| et y = BM.CM

on remarquera que le côté vertical du triangle obtenu (à droite) correspond au point M sur le cercle


[img]https://www.dropbox.com/s/vxlmcc8oxwzu85c/complexes%20%282%29.png?dl=0[/img]

sur cette deuxième figure F et G sont des points des segments [AD] et [DE]

S et T sont les points de coordonnées (AF, BF.CF) et AG, BG.CG/4) et leur lieu (je divise par 4 pour que le lieu apparaisse sur la figure sinon je suis obligé de zoomer trop et on n'y voit plus rien

F--> |1 + z²| est croissante (minimum en A et maximum en D)


lorsque G parcourt le segment [ED] de E vers D il se passe exactement ce que je dit : T parcourt son lieu en décroissant jusqu'à ce que G soit au milieu du segment [DE] puis en recroissant jusqu'à ce que G soit en D : T parcourt son lieu deux fois et passe par le minimum (la gauche du lieu) lorsque G est au milieu du segment [ED] ... parce qu'il y a symétrie par rapport à l'axe des abscisses



prions pour que ça marche ...


EDIT : j'ai modifié en mettant les balises [url] entre les balises [img] mais ça ne cré qu'un lien vers les images ... c'est mieux ... mais comment faire pour avoir l'image comme toi (chan79)

[zygomatique]

voila peut-être j'ai trouvé .... cliquer sur les images

[Kolis]

Méthode non abordée, me semble-t-il :
donc .
On en déduit .
Alors si il vient
.

Sur la fonction est positive si erreur ici, elle est toujours positive. Donc et il n'y a rien à vérifier. La suite est à rayer
Or et il reste à vérifier que ce qui est évident.

[Ben314]

@ zygomatique: Bon, on va pas y passer 15 jours non plus...
Dans ton premier post (celui où je t'ai repris), tu as écrit ça :

puisque M appartient au disque de centre A et de rayon 1/2 il y a symétrie par rapport à l'axe des abscisses et
donc les extremums (éventuellement locaux) de f ont lieu sur le bord du disque et sur l'axe des abscisses donc lorsque z = -1/2 ou z = -3/2

f(-3/2) = 3,25 et f(-1/2) = 1,25
donc f(z) > 1

Il me semble que, en particulier vu la conclusion finale, il n'y a pas la moindre ambiguïté concernant ta démarche : tu affirme que, vu que la fonction est paire et, il suffit de regarder ce qu'il se passe au bord de l'intervalle et au milieu pour en déduire une majoration/minoration de la fonction sur tout l'intervalle.
Et ça, il il n'y a de nouveau pas la moindre ambiguïté, c'est complètement faux.

[Ben314]

ici f(z) = BM.CM = f(x, y) vérifie f(x, y) = f(x, -y) donc sur toute chemin x = k du domaine (le disque) f(k, 0) est un extremum local (mais je n'en connais pas la nature effectivement)

Mais bon sang de bonsoir : le fait que tu ait trouvé autant d'extrémums locaux que tu veut, si tu n'as pas démontré que tu les as TOUS trouvé, tu n'en déduira absolument rien comme majoration/minoration de la fonction sur TOUT l'intervalle !!!!

[Ben314]

Sinon, j'ai toujours pas cherché s'il y avait "plus simple", mais il me semble que ce que je préconisait dans le premier post :

Au pire, c'est évidement faisable en écrivant que z=x+iy et, en commençant par montrer ce qui est géométriquement évident, c'est à dire que la partie réelle de z², (à savoir x²-y²) est strictement positive.

C'est quand même très court et très élémentaire :
Si z=x+iy alors le fait que |1+z|<1/4 signifie que (x+1)²+y²<1/4 et on en déduit que
Re(z²) = x²-y² > x²+[(x+1)²-1/4] = 2x²+2x+3/4 = 2(x+1/2)²+1/4 >= 1/4
donc |z²+1| >= Re(z²+1) > 1/4+1.

Et c'est grosso modo ce que fait Kolis, modulo qu'il préfère écrire z+barre(z) que 2.Re(z)...