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par **bitonio** » 23 Aoû 2006, 17:54

Re-salut à tous,

Décidement, les comparaisons c'est pas mon truc... :triste:

Je dois montrer que

pour x IR+

Merci d'avance pour vos bonnes idées :id:

Ciaoo

par **tize** » 23 Aoû 2006, 18:26

Il suffit de regarder le developpement en serie entiere de

.

ou alors de faire une etude des fonctions

et

par **nekros** » 23 Aoû 2006, 18:26

Salut,

Tu peux utiliser les formules de Taylor (inégalité de Taylor-Young).
Ou bien la méthode bourine : tu étudies les fonctions f et g définies par f(x)=sin(x)-x et g(x)=sin(x)-(x-x^3/6)

A+

par **abel** » 23 Aoû 2006, 18:47

Salut,
Pour la 1ere inégalité tu peux aussi utiliser la concavité de sin sur [0,1] par exemple, et comme x->x est tangente à sin en 0 et que sin(x)<=1 pour tout x on obtient la 1ere inégalité (mais taylor résout tres bien ce pb). Pour l'autre, je pense effectivement que taylor est la solution la + simple...

par **Mikou** » 23 Aoû 2006, 19:22

Deja vu en Ds, tu dérive plusieur fois et c bon.

par **bitonio** » 23 Aoû 2006, 21:49

merci à vous, je vais essayer.

par **BiZi** » 23 Aoû 2006, 21:59

Ouips avec la dérivée ca marche bien, pas la peine d'utiliser tout de suite les trucs de bourrin :we:

par **nekros** » 23 Aoû 2006, 22:01

BiZi a écrit:Ouips avec la dérivée ca marche bien, pas la peine d'utiliser tout de suite les trucs de bourrin :we:

Ne pas confondre méthode bourrine et méthode élégante :lol4: (enfin c'est relatif...)

A+

par **bitonio** » 24 Aoû 2006, 08:21

Enfin vu que je suis pas encore en classe prépa (j'y rentre en septembre), ce qui tu appelles élégant ca me parrait ultra bourin :we: Mais bon c'est normal, c'est pas du programme du secondaire!

J'essaye donc en dérivant :)

par **bitonio** » 25 Aoû 2006, 09:57

BiZi a écrit:Ouips avec la dérivée ca marche bien, pas la peine d'utiliser tout de suite les trucs de bourrin :we:

Salut,
Si quelqu'un veut bien me dire comment on fait en dérivant (il parrait c'est tout con...) mais la je vois pas

Merci d'avance

par **nekros** » 25 Aoû 2006, 10:32

salut bitonio,

C'est juste une étude de fonction.

Par exemple, il faut que tu montres que

pour tout

dans

On a

.
Or, pour tout

dans

,

donc

Donc

est croissante sur

Or,

et

quand

.

On en déduit que

pour tout

dans

ie

sur ce même intervalle.

Fais la même chose pour la fonction

A+

par **BiZi** » 25 Aoû 2006, 10:33

On définit la fonction f sur R par

f(x)=sinx -x

de dérivée f'(x)=cos x -1. D'où f'(x)<=0 pour tout x.

Donc f est croissante sur R+,or f(0)=sin 0 -0=0, on peut donc conclure que sin x<=x.

(rédaction un peu succincte mais bon ca se comprends^^)

Procède de même avec l'autre partie de l'inégalité :we:

EDIT: A une minute près :cry:

par **bitonio** » 25 Aoû 2006, 10:41

arf je suis trop bete... Merci beaucoup pour votre aide :marteau:

par **nekros** » 25 Aoû 2006, 10:42

Pour ma part je t'en prie :lol4:

A+

par **ayanis** » 25 Aoû 2006, 10:43

Bonjour,

1) (sin(x)-x)'=cosx-1 donc décroissante, en 0 elle vaut 0 donc négative pour x>0 donc résultat

2) (sinx-x+x^3/6)'=cosx-1+x²/2, tu redérives : (cos x -1+x²/2)'=-sinx+x, tu retrouves le 1, donc cosx-1+x²/2 est croissante, or en 0 ca vaut 0 donc positive, donc sinx-x+x^3/6 croissante or en 0 ca vaut 0 donc positive pour x>0 donc résultat

C'est synthétique et mal écrit mais c'est le raisonnement...

ttyl

par **ayanis** » 25 Aoû 2006, 10:44

Voups, désolée, j'avais pas vu que vouss aviez déjà répondu...

Suis trop lente à taper... :mur:

ttyl

par **BiZi** » 25 Aoû 2006, 10:50

nekros a écrit:Or, et quand .

A+

L'étude de la limite en + l'infini est superflue, non? :hein:

par **nekros** » 25 Aoû 2006, 10:52

BiZi a écrit:L'étude de la limite en + l'infini est superflue, non? :hein:

Oui c'est vrai puisque f est croissante sur

:lol4:

A+

par **quinto** » 25 Aoû 2006, 10:57

tize a écrit:Il suffit de regarder le developpement en serie entiere de .

En passant par cette méthode, je ne vois pas trop ce que tu vas trouver ...

par **ayanis** » 25 Aoû 2006, 11:03

le deuxième terme est positif pour x>0 donc sinx est bien plus petit et le troisième est négatif donc sinx est plus grand... (meme si c'est un peu compliqué vu qu'il faut prendre en compte toute l'expression mais ca se fait...)

La méthode de dérivation est vraiment beaucoup plus simple...

ttyl

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