Comparaison moyenne arithmétique et géométrique

[mathelot]

hypothèse de récurrence


On veut démontrer .

on suppose

si alors



si

on peut trouver un indice j tel que
quitte à renuméroter , on a:

si
quitte à renuméroter , on a: .

et vérifient les hypothèses de la question (1)
(1)

on conclue avec la démonstration indiquée par zygo:
(2)

on ajoute (1) et (2).


conclusion: pour k réels positifs,


remarque: si ces sujets t'intéressent, regarder le livre de Polya,Hardy,Littlewood "inequalities" par exemple qui date de 1973

[romaric12]

d'accord merci beaucoup pour les expliquations mais je n'arrive pas à ajouter 1) et 2)

[Archytas]

d'accord merci beaucoup pour les expliquations mais je n'arrive pas à ajouter 1) et 2)

Sommes les deux inégalités et regarde ce qu'il reste, il y aura des simplifications et il restera ce qu'on veux au rang k+1

[romaric12]

oui mais ce qui me gène c'est que dans la deux y'a une implication donc je sais pas comment on additionne

[mathelot]

oui mais ce qui me gène c'est que dans la deux y'a une implication donc je sais pas comment on additionne

(D résulte de la conjonction de B et C)

[romaric12]

donc

d'où