Comparaison

[bitonio]

Salut à tous,

j'ai une comparaison à réaliser entre

avec n entier naturel non nul et un réel positif
Merci de me dire si mon raisonnement est correct, et ce qu'il manque.

On applique la formule du binome, à savoir que:



On a :

Donc

De la, on peut en déduire que
(modif suppérieur ou égal (n=1))

Mon raisonnement est-il correct ? Y a-t-il plus simple ?

Merci d'avance

Bitonio

[Nightmare]

Bonjour

et non le signe que tu as écrit.

Sinon je pense que la conclusion est un peu hative...

La méthode la plus simple je pense est de raisonner par convexité :

On note f la fonction définie sur R+ par :


On a que et il s'ensuit sur R+

Par conséquent la fonction f est convexe, Cf est donc au dessus de toute ses tangentes sur R+
Ses tangentes en a ont pour équation :

En a=0, on obtient l'équation :


Cf est donc aussi de cette tangente sur R+, c'est à dire que pour tout x de R + :


:happy3:

[bitonio]

Effectivement c'est bien le signe de somme, j'ai tappé mon premier code LateX ca m'a perturbé ^^

ta solution est interéssante, et il faut avouer que je n'aurai jamais pensé à ca si tu ne l'avais pas dit... Dans le secondaire, on n'a pas l'habitude de raisonner comme ca (enfin moi j'ai jamais vu ca)

Merci pour ton aide ;)

Bitonio

ps: tu parles de conclusion hative, il n'y a pas ici tout ce que je marque sur ma feuille... j'ai telement de mal avec le code LateX que j'ai abrégé un maximum

[Nightmare]

Une dernière solution plus envisageable dans le secondaire est celle de l'étude de la fonction :
sur

Sa dérivée a pour expression :
qui est positive sur

f est donc croissante sur cet intervalle.
Or :

Ainsi pour tout positif :

Ce qui s'écrit encore :
CQFD

:happy3:

[ayanis]

Donc

Je me permet de faire remarquer que cette ligne est fausse, ca vaut e+ne, et non 1+ne,

Par contre 1+ne= (0 parmi n)x1^n x e^0+(1 parmi n) x1^(n-1) xe^1

La suite du raisonnement est donc correcte... parce que e est positif donc tous les termes de la somme le sont...

ttyl

[Nightmare]

Continuons dans les démonstrations (je m'ennuie je sais ... )



Ainsi :

soit

ou encore


:happy3:

[bitonio]

Je me permet de faire remarquer que cette ligne est fausse, ca vaut e+ne, et non 1+ne,

Par contre 1+ne= (0 parmi n)x1^n x e^0+(1 parmi n) x1^(n-1) xe^1

La suite du raisonnement est donc correcte... parce que e est positif donc tous les termes de la somme le sont...

ttyl

effectivement, jme suis encore planté en recopiant de ma feuille vers le Latex... C'est bien entendu avec un ^0 le epsilon

Merci à tous, et surement à bientot

Bitonio