Combinatoire

[Mathusalem]

Bonjour,

Je dois démontrer la relation suivante :



On me conseille de trouver 2 moyens de compter le nombre de groupes à taille variable que l'on peut former avec n individus, et chaque groupe a un chef.

Le premier moyen est direct : On regarde le nombre de combinaisons possibles pour un groupe de taille j et on somme, tout en pondérant par j car il y a j chefs possibles. ceci donne la première partie de l'égalité.

Je bloque quant à la deuxième partie. Des indications ?
Je n'arrive pas à trouver de moyen différent qui me fasse apparaître un

[Doraki]

On choisit d'abord le chef.

[Mathusalem]

Merci de l'indic.

Ainsi, on regarde un groupe de n personnes, on fixe le chef.

Exemple : n = 4

Alors il y a
1 groupe de 1
3 groupes de 2
3 groupes de 3
1 groupe de 4
On peut réitérer le raisonnement n = 4 fois en choisissant un autre chef.

n = 5
On a 1 4 6 4 1
n = 6
On a 1 5 10 10 5 1

Ca ressemble au truc de pascal.
Donc maintenant vu qu'il est tard, jaurais besoin d'une indication pour montrer que la somme de ces termes = 2^(n-1) pour n termes..

EDIT: C'est bon, j'ai.

[gigamesh]

Salut,
une fois que tu as choisi le chef, il reste pour chacun des n-1 sous-fifres
à décider si oui ou non il sera dans le groupe.

[Mathusalem]

Salut,
une fois que tu as choisi le chef, il reste pour chacun des n-1 sous-fifres
à décider si oui ou non il sera dans le groupe.

En effet, c'est beaucoup plus simple ainsi.

[Zweig]

Une manière non combinatoire de faire est :



On dérive puis on prend .