Combinatoire: nombre de boules de la même couleur

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FranckD
Messages: 3
Enregistré le: 06 Déc 2022, 19:32

Combinatoire: nombre de boules de la même couleur

par FranckD » 06 Déc 2022, 19:52

Bonjour, je cale sur un problème d'analyse combinatoire dont voici l'énoncé:

Combien existe-t-il de séquences de n boules colorées choisie parmi r couleurs possédant au moins un sous ensemble de d boules exactement de la même couleur ?

Voici un exemple calculé par un programme en générant toutes les séquences pour 3 couleurs et en ne retenant que les sous-ensembles ayant 2 boules de la même couleur. On peut avoir 2 sous-ensembles ayant 2 boules de la même couleur mais de couleur différente pour chaque sous-ensemble . Ici, n = 4; r = 3; d = 2 et le résultat est 54 séquences parmi 81.

Image

Merci de votre intérêt porté à cette question. Avoir la solution m'aidera beaucoup.

F.



catamat
Membre Rationnel
Messages: 788
Enregistré le: 07 Mar 2021, 12:40

Re: Combinatoire: nombre de boules de la même couleur

par catamat » 07 Déc 2022, 14:23

Bonjour

La formule générale ne doit être évidente, mais bon dans ce cas particulier ce n'est pas trop difficile

Il faut dénombrer les séquences de type 22 puis celles de type 211

Pour celles de type 22 on choisit la place des deux boules de même couleur parmi 4 possibles puis les deux couleurs parmi trois possibles donc


Pour celles de type 211 on choisit la place des deux boules de même couleur parmi 4 possibles puis trois couleurs parmi 3 possibles


Donc en tout 18+36 soit 54

Remarque : pour le type 22 j'utilise les combinaisons dans le choix des couleurs sinon on aurait des doublons
Je vais chercher d'autres exemples...

FranckD
Messages: 3
Enregistré le: 06 Déc 2022, 19:32

Re: Combinatoire: nombre de boules de la même couleur

par FranckD » 08 Déc 2022, 12:17

Merci pour ce début d aide. Simplement j aimerai sa caractérisation générale.

Pisigma
Membre Complexe
Messages: 2800
Enregistré le: 22 Déc 2014, 01:38

Re: Combinatoire: nombre de boules de la même couleur

par Pisigma » 08 Déc 2022, 12:25

Bonjour,

tu n'as pas eu ce que tu voulais ici https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=15631 :twisted:

FranckD
Messages: 3
Enregistré le: 06 Déc 2022, 19:32

Re: Combinatoire: nombre de boules de la même couleur

par FranckD » 08 Déc 2022, 14:50

Oui j avais déjà les résultats préliminaires énoncés dont je remercie les auteurs.

 

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