Algebre : même base, même espace vectoriel ?

[cloclo]

Bonjour,
Soit H l'ensemble des matrices carrées M d'ordre 2 à coefficients complexes de la forme :
M = ( (z1, -z2*), (z2, z1*) ) pour tout (z1, z2) appartenant à C².
(l'algèbre des quaternions je crois)
Soit I = ((1, 0), (0, 1)) J = ((0, -1), (1, 0)) K = ((0, i), (i, 0)) L=((-i, 0), (0, i))
J'ai montré que (I, J, K, L) est une base de H
J 'ai montré que (I, J, K, L) est une base du R-espace vectoriel suivant : ensemble des matrices carrées d'ordre
2 à coef complexes. Je le note M2(C).
Or H appartient à M2(C).
Donc H = M2(C) ?
Quelque chose cloche, je ne comprend pas quoi. Pourriez-vous m'aider ?

[aviateur]

Bonjour c'est ça qui cloche
J 'ai montré que (I, J, K, L) est une base du R-espace vectoriel suivant : ensemble des matrices carrées d'ordre
2 à coef complexes.

[Ben314]

Salut,
Si on veut un peu plus rentrer dans les détail, face à un tel exercice, il faudrait avant tout répondre à ces questions :
1.a) M2(C) est-il un C-espace vectoriel ? Si oui, quelle est sa dimension sur C ? (une base ?)
1.b) M2(C) est-il un R-espace vectoriel ? Si oui, quelle est sa dimension sur R ? (une base ?)
2.a) H est-il un C-espace vectoriel ? Si oui, quelle est sa dimension sur C ? (une base ?)
2.b) H est-il un R-espace vectoriel ? Si oui, quelle est sa dimension sur R ? (une base ?)

[cloclo]

Merci pour vos réponses !

1.a) M2(C) est 1 C-ev de dim 4 sur C . Base : (I ,J, K, L)
1.b)M2(C) est 1 R-ev . Je ne vois pas comment trouver sa dimension sur R
2.a) H est 1 C-ev de dim 4 sur C. Base : (I,J,K L)
2.b)H est 1 R-ev . Je ne vois pas non plus comment faire ici

[cloclo]

Bonjour c'est ça qui cloche
J 'ai montré que (I, J, K, L) est une base du R-espace vectoriel suivant : ensemble des matrices carrées d'ordre
2 à coef complexes.

Parce qu'etant un R-ev il faut lui trouver une base sur R et non sur C ?

[Ben314]

Merci pour vos réponses !

1.a) M2(C) est 1 C-ev de dim 4 sur C . Base : (I ,J, K, L) <= OUI
1.b)M2(C) est 1 R-ev . Je ne vois pas comment trouver sa dimension sur R
Un C-e.v. peut toujours être vu comme en R-e.v. et sa dimension en temps que R-e.v. est toujours le double de celle en temps que C-e.v. Donc ici, il est de dimension 8 sur R et une base est :

Toute matrice de M2(C) s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients réels des 8 matrices çi dessus.
2.a) H est 1 C-ev de dim 4 sur C. Base : (I,J,K L) <= Perdu : et c'est pour ça que tu t'emmêle les pinceaux ensuite
2.b)H est 1 R-ev . Je ne vois pas non plus comment faire ici <= OUI

Bilan :
- Démontre moi proprement que H n'est pas un C-e.v.
- Puis démontre proprement que H est un R-e.v. de dimension 4.
Et comme M2(C) est de dimension 8 sur R, H est bien un R-sous espace vectoriel strict de M2(C).

Et sinon, concernant la suite de l'exo., comme H n'est pas un C-e.v. mais uniquement un R-e.v., tout va se passer avec des R-e.v. et pas avec des C-e.v. (i.e. ça sera systématiquement sous entendu "en temps que R-e.v.")

[cloclo]

Coucou et merci Ben314 !

-Je sais comment montrer que toute matrice de H s'écrit de manière unique sous la forme aI + bJ + cK + dL où a, b, c, d sont des réels. Puis que H = Vect(I, J, K, L). Donc H est un sous espace vectoriel du R-espace vectoriel M2(C) , et on a aussi que (I, J, K, L) est une base du R-espace vectoriel H. Ainsi dim (du R-ev H) = 4

- Mais je ne vois pourquoi H n'est pas un C-ev.
Plus précisément, je ne trouve pas quelle propriété de la définition d'un K-ev "H sur C" ne vérifie pas.
(H,+) est un groupe abélien
soit M1, M2 de H et z1, z2 de C, on a bien :
z1*(M1+M2) = z1*M1 +z2*M2
(z1 + z2)*M1 = z1*M1 + z2*M1
z1*(z2*M1) = (z1*z2)*M1
1*M1 = M1

[Ben314]

Plus précisément, je ne trouve pas quelle propriété de la définition d'un K-ev "H sur C" ne vérifie pas.
(H,+) est un groupe abélien <= O.K., mais je susi pas certain que tu ait compris ce qu'il falait réellement montrer.
soit M1, M2 de H et z1, z2 de C, on a bien : <= Là, c'est n'importe quoi ton truc.
z1*(M1+M2) = z1*M1 +z2*M2
(z1 + z2)*M1 = z1*M1 + z2*M1
z1*(z2*M1) = (z1*z2)*M1
1*M1 = M1

Ce que tu montre là, c'est plus ou moins que H est un espace vectoriel sauf que ça sert à rien ce que tu fait vu que tu sait déjà que "l'espace ambiant" M2(C) est déjà un espace vectoriel.

Et par contre ce que tu ne montre pas alors que c'est uniquement ça le point important, c'est que l'addition et la multiplication par sont effectivement des opérations qui ont du sens sur H, c'est à dire que la somme de deux éléments de H est bien dans H et que le produit par un scalaire d'un élément de H est encore un élément de H.
(le reste, à savoir ce que tu écrit, ça sert à rien vu que c'était déjà vrai sur M2(C) et qu'évidement, ça va rester vrai sur H, à condition que les résultats des opérations soient bien dans H)

[cloclo]

On n'a pas : "Pour tous z dans C et M dans H, z*M appartient à H"
Donc H n'est pas un sev du C-ev M2(C) , donc H n'est pas un C-ev.
C'est ça ?

[Ben314]

oui : ça ne marche à coup sûr que si tu multiplie une matrice de H par un réel.

[cloclo]

Ok, capito ! Merci Ben314