Coefficients indéterminés

[collinm]

salut

j'emploi ici la méthode des coefficients indéterminés pour trouver une solution particulière

y''+2y'+5y=e^(-x) cos(2x)

on trouve les racines: -1-2i, -1+2i

le candidat

yp=Ae^(-t)*cos(2t)+Be^(-t)*sin(2t)

yp'' + 2yp' + 5yp n'est pas égale à e^(-t)*cos(2t)
on multiplit yp par t

donc

yp=A*t*e^(-t)*cos(2t)+B*t*e^(-t)*sin(2t)

pour yp'' + 2yp' + 5yp

on trouve

(4B * cos(2t)) /e^t - (4A*sin(2t)) /e^t = e^(-t) cos(2t)

b=1/4 et a=0

quelqu'un peut confirmer

merci

[Anonyme]

ca a l'air bo, sauf que tu as remplacé X par t, ce qui prete à confusion et que tu aurais du utiliser la notation complexe, ce qui allege les calculs...

[Anonyme]

ça a l'air bon, sauf que tu as remplacé X par t, ce qui prete à confusion et que tu aurais du utiliser la notation complexe, ce qui allege les calculs...

[cesar]

comme l'a dit non inscrit, cela a l'air bon. Mais une équation differentielle du deuxieme ordre comporte 2 constantes. Il vaut mieux pas les oublier dans la solution.

la solution de l'équation est :

y = A*exp((-1+2*i)*x) + B*exp((-1-2*i)*x) + (1/4)*x*exp(-x)*sin(2x)
avec A et B constantes dependant des parametres initiaux.

en notation complexe : exp(-x)*cos(2*x) = RE (exp((-1+2i)*x)) et comme -1 + 2i est un racine de r*r + 2*r +5, alors la solution particuliere dans le domaine complexe est de la forme K*x*exp(r1*x) avec r1=-1+2i

on a :
y=K*x*exp(r1*x)
y' = K*exp(r1*x) (1+r1*x)
y" =K*exp(r1*x) (2*r1+x*r*r)

y"+2y'+5 = K*exp(r1*x)*(2*r1+x*r*r +2*(1+r1*x) + 5*r1*x) = exp(r1*x)

ce qui donne :

K*exp(r1*x)*(2*r1+r + x*(r1*r1 + 2*r1 +5)) =exp(r1*x)
on voit que le terme en x s'annule, car r1 est racine du polynome
il vient immediatement :

K=1/(2*(r1+1)), soit K=-i/4 en remplacant r1 par -1+2*i

la solution particuliere complexe est y=(-i/4)*exp((-1+2*i)*x)
et sa partie reelle est y = (1/4)*x*sin(2*x), que vous avez trouvé.