Classique Equadiff 2nd Ordre

[eb2108]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice d'equadiff plutôt classique.
Il s'agit de trouver toutes les applications y dans R, sachant que y"(x) + y(-x) = x.exp(x)

J'arrive à trouver y de la forme : y(x)=lambda.cos(x) + mu.sin(x) + (1/2)(x-1)exp(x)
Seulement, elle fonctionne seulement lorsque que y est paire. (On peut le vérifier en injectant dans l'équation)

Comment trouver que y est paire en ayant seulement pour hypothèse l'équation de départ ?

Merci !

[Kolis]

Bonjour !
Si tu dérives deux fois tu trouveras une relation entre et tu résous l'équation linéaire d'ordre 4.

Attention : après dérivation tu n'as que des conditions nécessaires, une vérification s'impose.

[zygomatique]

salut

J'arrive à trouver y de la forme : y(x) = a.cos(x) + b.sin(x) + (1/2)(x - 1) exp(x)
Seulement, elle fonctionne seulement lorsque que y est paire. (On peut le vérifier en injectant dans l'équation)

1/ autant utiliser des lettres (l'alphabet en compte 26 ... ce qui laisse un certain choix)

2/ que veux-tu dire ensuite ?

je ne vois pas comment y peut être paire avec le terme en exponentielle ...


une idée

(1) y"(x) + y(-x) = x exp(x) donne y(x) = ... (ce que tu as trouvé)

mais y"(x) + y(-x) = x exp(x) <=> y"(-x) + y(x) = -x exp(-x)

(2) y"(-x) + y(x) = -x exp(-x) donne z(x) = ... (à trouver)


puis peut-être considérer f(x) = y(x) + z(x) ... et voir si f est solution ...

ou peut-être considérer f(x) = c.y(x) + d.z(x) où c et d sont des scalaires ... à déterminer ...



PS: même si kolis est intervenu je poste tout de même ...

[mathelot]

autre méthode

Lemme: une fonction f est somme d'une fonction paire (sa partie paire)
et d'une fonction impaire (sa partie impaire) d'une seule façon
La dérivée seconde d'une fonction paire(resp. impaire) est paire (resp. impaire)

posons f=p+j avec p(-x)=p(x) et j(-x)=-j(x)



l'équation différentielle donne, en séparant les parties paires et impaires



où ch() et sh() sont les cosinus et sinus hyperboliques de x

[Kolis]

Autre idée.
Toute fonction est somme unique d'une fonction paire et d'une fonction impaire : en effet, .
Tu peux donc chercher les fonctions telles que , paire, impaire.
Alors .
Le premier membre est somme de (et est paire) et qui est impaire. Il suffit alors d'identifier les parties paires et impaires soit


A mon avis, ce n'est ni plus simple, ni plus compliqué de passer par l'équation d'ordre 4 : à toi de voir.

Edit : pas eu le temps de voir le message de mathelot, excuses-moi !

[mathelot]

a pour solution paire


https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%22%2By%3Dx+sinh(x)

a pour solution impaire

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%22-y%3Dx+cosh(x)