équa.diff ordre 1 non classique [g'(t) fonction de g(t/2)

[acteon]

Bonsoir,
je me demande s'il y a une théorie ou une méthode un peu systématique pour les équations différentielles dans lesquelles "la variable change"

exemple: g'(t) = e^t g(t/2)
f'(x) = f(sqrt(x)) (exemples issus de ICNA 2015)

les solutions sont bien des espaces vectoriels, par exemple conserve-t-on que la dimension de l'espace solution de l'équation (ici homogène) est égale à l'ordre de l'équation?
merci

[Ben314]

Salut,
Je connait que dalle au sujet en général (je sais pas si on peut dire bien "grand chose" dans le cas général d'ailleurs...)
Mais ce que je sais, c'est que, en simplifiant le problème, c'est en regardant uniquement des équations du même style mais ne contenant que la fonction de départ et pas de dérivation, on tombe sur ce qu'on appelle des "équations fonctionnelles" qui est un des thème archi. classiques des olympiades de mathématique (internationales ou pas) et que je crois bien qu'il n'y a pas trop de "méthode générale" vu que c'est souvent de sacré casse tête à résoudre.

Bon, après, en restreignant fortement la classe des équations considérées, il y a éventuellement des trucs à dire, mais au départ, j'aurais tendance à étudier uniquement celle que tu donne (si tu l'a trouvé quelque part ça risque d'être faisable) quitte à éventuellement un tout petit peu généraliser ensuite.

Enfin, il faut bien voir que j'ai (vraiment) pas la science infuse, donc peut-être qu'il y a des truc à dire en plus du fait que c'est un e.v. (mais concernant la dimension de l'e.v. en général, je pense pas qu'on puisse dire grand chose : pense par exemple à la dimension de l'e.v. des fonctions vérifiant f(x+1)=f(x) pour tout x...)

P.S. :
- Le deuxième exemple que tu donne est tiré d'un bouquin (donc sans doute faisable), mais quelles sont les hypothèses exactes : la fonction cherchée doit elle être définie en 0 ? continue en 0 ? dérivable en 0 ?
- Le premier exemple, tu l'a inventé ou il sort aussi d'un bouquin ? s'il sort d'un bouquin, c'est quoi les hypothèses exactes ?

[acteon]

salut, merci pour ta réponse, non en fait ils sont tirés tous les deux de ICNA 2015 (en fait c'est quasiment la même équation, car si f vérifie f'(x)=f(sqrt(x)) alors la fonction g définie par g(t)=f(e^t) vérifie g'(t) = exp(t) g(t/2) , et réciproquement). Il n'y a pas d'autre hypothèse sinon que f dérivable de R+* dans R et g dérivable de R dans R.
après les questions sont guidées, mais parfois un peu tordues (comme régulièrement à l'ICNA), on finit par admettre que les solutions de g'(t) = exp(t) g(t/2) sont développables en série entière sur R et donc on n'a pas trop de mal à montrer que la dimension est 1 du coup.
Voilà, mais c'est juste que je me demandais si je passais à côté de qqch d'évident...je me suis senti bête...mais finalement peut-être pas tant que ça...
merci à toi!

[Ben314]

Effectivement, si ton équation est de la forme , que les fonction (connues) et sont analytiques, que la fonction admet un point fixe et que l'on cherche uniquement les solutions qui vont être analytiques au voisinage de , alors on rentre dans du "assez standard" : la résolution d'équa-diff (particulières) voire d'équations fonctionnelles (particulières) est souvent donnée comme une des application possibles des développements en série entière.