Classe d'équivalence

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit une relation d'équivalence sur un ensemble E.
Alors les classes d'équivalences forment une partition de E.

Je bloque sur le début de la démo.

Chaque élément x de E appartient à sa classe d'équivalence (par réflexivité de donc l'union des classes d'équivalence est bien l'ensemble E tout entier.

Je comprends pas pourquoi si tous les x appartenant à E appartient à leur classe d'équivalence, l'union des classes d'équivalence donne E

[hdci]

Il faut revenir à la définition des classes d'équivalence :

• Réflexive
• Symétrique
• Transitive

Puisqu'elle est réflexive, chaque élément appartient à sa propre classe d'équivalence, donc la réunion des classes d'équivalence fait bien l'ensemble tout entier (pour tout , il existe une classe d'équivalence qui contient , c'est la classe de )

Il ne reste plus qu'à vérifier que les classes sont disjointes, et on utilise pour cela la symétrie et la transitivité :

• la classe d'équivalence de est l'ensemble des en relation avec
• soit un autre élément qui n'est pas en relation avec (donc qui forme une autre classe d'équivalence).
• Si appartenait aux deux classes, on aurait et
• alors avec la symétrie puis la transitivité, on aboutit à contradiction avec l'hypothèse

[mehdi-128]

Pour la suite de votre raisonemment j'ai compris.

Par contre j'arrive pas à comprendre ce passage :

Puisqu'elle est réflexive, chaque élément appartient à sa propre classe d'équivalence, donc la réunion des classes d'équivalence fait bien l'ensemble tout entier (pour tout , il existe une classe d'équivalence qui contient , c'est la classe de )

Pourquoi si la classe d'équivalence de de x contient x, alors la réunion des classes d'équivalence fait l'ensemble E ?

[pascal16]

On est en théorie de ensembles, il faut faire attention.

dans N
xRy ssi x et y sont pairs est bien symétrique et transitive, mais pas réflexive, on a pas 3R3.

le "réflexive" impose que chaque élément x fasse partie d'une classe d'équivalence, qu'on peut appeler "x barre"

xRy ssi x et y sont de même parité est bien une relation d'équivalence
au passage, on voit que :
on atteint touts les nombres
un nombre est soit pair, soit impair
-> on a un partition en 2 de N

[hdci]

Par contre j'arrive pas à comprendre ce passage :

Puisqu'elle est réflexive, chaque élément appartient à sa propre classe d'équivalence, donc la réunion des classes d'équivalence fait bien l'ensemble tout entier (pour tout , il existe une classe d'équivalence qui contient , c'est la classe de )

Pourquoi si la classe d'équivalence de de x contient x, alors la réunion des classes d'équivalence fait l'ensemble E ?

Ce n'est pas "si la classe d'équivalence de contient ", mais "pour tout , la classe d'équivalence de contient ". Le quantificateur "pour tout" est indispensable sinon on ne prouve rien.

Si on veut s'en convaincre différemment on peut faire un raisonnement par l'absurde : on note l'ensemble des classes d'équivalence, et on suppose que . Il existe donc tel que

Donc n'appartient à aucune classe d'équivalence. Or , donc appartient à sa propre classe d'équivalence, contradiction.

[mehdi-128]

Par contre j'arrive pas à comprendre ce passage :

Puisqu'elle est réflexive, chaque élément appartient à sa propre classe d'équivalence, donc la réunion des classes d'équivalence fait bien l'ensemble tout entier (pour tout , il existe une classe d'équivalence qui contient , c'est la classe de )

Pourquoi si la classe d'équivalence de de x contient x, alors la réunion des classes d'équivalence fait l'ensemble E ?

Ce n'est pas "si la classe d'équivalence de contient ", mais "pour tout , la classe d'équivalence de contient ". Le quantificateur "pour tout" est indispensable sinon on ne prouve rien.

Si on veut s'en convaincre différemment on peut faire un raisonnement par l'absurde : on note l'ensemble des classes d'équivalence, et on suppose que . Il existe donc tel que

Donc n'appartient à aucune classe d'équivalence. Or , donc appartient à sa propre classe d'équivalence, contradiction.

Joli raisonnement

En ne raisonnant pas par l'absurde c'est pas possible de le montrer ?

[hdci]

En ne raisonnant pas par l'absurde c'est pas possible de le montrer ?

Si : tout appartient à sa propre classe d'équivalence, donc tout appartient à au moins une classe d'équivalence, donc tout appartient à la réunion de toutes les classes d'équivalence : la réunion des classes recouvre l'ensemble

Mais comme vous aviez du mal avec

Pourquoi si la classe d'équivalence de de x contient x, alors la réunion des classes d'équivalence fait l'ensemble E ?

le passage par l'absurde me semblait un bon moyen de convaincre.

[pascal16]

cheminement par l'absurde :

c'est pas une partition
-> un élément n'a pas de classe -> impossible (réflexivité)
-> un élément x est dans plusieurs classes d'équivalences à la fois
soit y et z des éléments dans 2 de ces classes .
on a xRy et xRz donc yRz, donc y et z sont dans la même classe (transitivité*)
donc ils sont tous dans la même classe
donc x n'est pas dans plusieurs classes à la fois, impossible.


(transitivité*) : dans le cas où on a pas la symétrie, la transitivité ne peut être écrite que dans un sens, il faudrait travailler un peu différemment. La symétrie, bien que non citée est bien obligatoire

[mehdi-128]

En ne raisonnant pas par l'absurde c'est pas possible de le montrer ?

Si : tout appartient à sa propre classe d'équivalence, donc tout appartient à au moins une classe d'équivalence, donc tout appartient à la réunion de toutes les classes d'équivalence : la réunion des classes recouvre l'ensemble

Mais comme vous aviez du mal avec

Pourquoi si la classe d'équivalence de de x contient x, alors la réunion des classes d'équivalence fait l'ensemble E ?

le passage par l'absurde me semblait un bon moyen de convaincre.

Sur le premier raisonnement sans raisonner par l'absurde c'est juste ce petit détail qui me troublait :
Qui nous dit que l'ensemble des classes d'équivalence de x n'est pas plus grand que E au sens de l'inclusion ? Comment on est sûr que c'est égal à E ?

[Mimosa]

Bonjour

Par définition une classe d'équivalence est une partie de E.

[mehdi-128]

Bonjour

Par définition une classe d'équivalence est une partie de E.

Ah j'avais loupé ce détail merci

[hdci]

Qui nous dit que l'ensemble des classes d'équivalence de x n'est pas plus grand que E au sens de l'inclusion ? Comment on est sûr que c'est égal à E ?

Effectivement ce que j'ai écrit montre que est inclus dans la réunion des classes d'équivalence.
Pour être rigourux jusqu'au bout des ongles il faut montrer l'inclusion inverse, mais comme le dit mimosa, une classe d'équivalence est une partie de : la classe d'équivalence de sont les éléments de qui sont en relation avec . Donc la réunion des classes ne contient que des éléments de , ce qui fait que la réunion est incluse dans

On a donc l'inclusion et l'inclusion réciproque, donc l'égalité.

J'avais omis cette dernière partie car elle est évidente par définition même de la classe d'équivalence.