Classe d'equivalence

[MC91]

Bonsoir,

Je suis en train d'étudier les classes d'equivalence d'un ensemble modulo R, ou R est une relation.
Dans mon cours il est noté que si on prend la classe d'equivalence d'un élement x, et la classe d'equivalence d'un élement y, ces deux classes sont égales sous condition que x et y soient en relation.

Je n'arrive pas du tout à comprendre pourquoi. Pour l'instant, nous avons juste étudié les bases des classes : définition, partition, relation d'equivalence.

Quelqu'un pourrait il éclaircir mon problème?
Merci d'avance...

Bonne soirée.

[adrien69]

Bonsoir,

Je suis en train d'étudier les classes d'equivalence d'un ensemble modulo R, ou R est une relation.
Dans mon cours il est noté que si on prend la classe d'equivalence d'un élement x, et la classe d'equivalence d'un élement y, ces deux classes sont égales sous condition que x et y soient en relation.

Je n'arrive pas du tout à comprendre pourquoi. Pour l'instant, nous avons juste étudié les bases des classes : définition, partition, relation d'equivalence.

Quelqu'un pourrait il éclaircir mon problème?
Merci d'avance...

Bonne soirée.

Hi !

La définition d'une classe d'équivalence c'est y appartient à la classe d'équivalence de x si et seulement si y est en relation avec x (yRx), or R est transitive, donc pour tout z appartenant à la classe de y, si y appartient à la classe de x, alors z appartient à la classe de x. Donc la classe de y est incluse dans celle de x, or comme R est symétrique on a aussi xRy, donc de même qu'avant, la classe de x est incluse dans celle de y, finalement, leurs classes sont égales. Réciproquement, si leurs classes sont égales, alors x appartient à la classe de x qui est exactement la classe de y implique x appartient à la classe de y, donc xRy par définition.

Voili voilou.

[lionel52]

Bah il suffit de prendre la relation d'équivalence = . Par définition la classe d'équivalence de x est l'ensemble des z tel que x = z. Et la classe d'équivalence de y est l'ensemble des z tel que y = z.

Si z € Classe(x) (c'est à dire x = z), et si x = y alors y = z et z € Classe(y) ce qui montre que Classe(x) est inclus dans Classe(y). Le même raisonnement donne que Classe(y) est inclus dans Classe(x)

Si Classe(x) = Classe(y) alors par exemple y € Classe(x) et x = y

[MC91]

Ah merci beaucoup !!

[adrien69]

De rien, si tu veux une façon géométrique de voir la chose, une classe d'équivalence et une grande chaîne fermée qui relie des points, un peu comme les trucs pour gosses où tu as des points numérotés et qu'il faut les relier, sauf que dans notre cas le dernier point est le premier point.