Je cherche un groupe...

[chombier]

Bonjour à tous !

J'ai lu et compris la démonstration qui dit que si un groupe (G, ., e) vérifie que pour tout x de G, x^2=e, alors ce groupe est commutatif.

Je la remets pour mémoire : soit a et b deux éléments quelconques de G.
Comme a^2=aa=e, b^2=bb=e, (ba)^2=baba=e et (ab)^2=abab=e

ab = e(ab)e = (bb)(ab)(aa) = b(baba)a = bea = ba
Donc G est commutatif.

Seulement voila, je n'arrive pas à m'approprier cette démonstration. J'ai donc cherché un groupe qui puisse me servir de point d'ancrage. J'ai pensé aux symétries axiales muni de la composition, car ce sont des involution (s o s = Id) elles répondent donc bien au deuxième critère. Mais elles ne forment pas un groupe car la composée de deux symétries axiales n'est pas une symétrie axiales.


Quelqu'un aurait sous la main un groupe qui vérifie les conditions d'application de la démonstration (si possible pas trop abstrait, et si possible infini, ça sera plus simple pour moi de visualiser cette démonstration).

Merci d'avance !

[capitaine nuggets]

Salut !

Il y a .

:+++:

[chombier]

Salut !

Il y a .

:+++:

Il me semble que le produit de deux groupes abéliens munis de la bonne lci est un groupe abélien

Z/2Z est déjà abélien et vérifie les critères, mais j'aurais aimé un groupe un peu moins trivial. Infini si possible, ça doit bien exister ?

[capitaine nuggets]

Il me semble que le produit de deux groupes abéliens munis de la bonne lci est un groupe abélien

Z/2Z est déjà abélien et vérifie les critères, mais j'aurais aimé un groupe un peu moins trivial. Infini si possible, ça doit bien exister ?

J'ai pensé à quelque chose du genre muni de la loi de composition .
Le problème, c'est que l'on n'a pas la commutativité...

[chombier]

J'ai pensé à quelque chose du genre muni de la loi de composition .
Le problème, c'est que l'on n'a pas la commutativité...

Le problème surtout c'est que ce n'est pas un groupe !

n'est pas un élément de E

D'ailleurs l'element neutre (Id_R*) non plus

Mais sinon, un exemple avec des compositions de fonctions (un sous groupe commutatif du groupe des bijections dont tous les éléments sont des involutions) me plairait énormément ! Ça me parle !

Il faudrait un sous groupe infini de (PERM(X), o) (X serait infini) dont tous les éléments soient des involutions. Je ne sais pas si ça existe.

[Doraki]

Prend X un ensemble et regarde le groupe P(X) (l'ensemble des parties de X) muni de la loi de différence symétrique (A.B = (A union B) privé de (A inter B))

[chombier]

Prend X un ensemble et regarde le groupe P(X) (l'ensemble des parties de X) muni de la loi de différence symétrique (A.B = (A union B) privé de (A inter B))

Ça marche, merci !

J'espère que je trouverais un jour un sous-groupe de (S_E, o) dont tous les éléments sont involutifs, ou la preuve qu'il n'en existe pas.

[L.A.]

Bonsoir,

dans S({1,...,2n}) il y a bien le groupe engendré par les transpositions de la forme
(2k-1 2k)... mais c'est ni plus ni moins que (Z/2Z)^n qui a déjà été évoqué.
Il n'est pas impossible que tous les sous-groupes de la forme que tu veux soient ceux de cette forme (engendrés par des transpositions ou produits de transpositions à supports disjoints)

[Doraki]

Ben ... chaque groupe est canoniquement isomorphe ... à un sous-groupe du groupe des permutations du groupe en question.

Donc ici tu prends l'ensemble des permutations de P(X). Pour chaque élément A de P(X), tu regardes la permutation f(A) : B -> A.B (où . est la loi de tout à l'heure).

f est un morphisme de groupes injectif qui va de P(X) dans Perm(P(X))
Son image te donne donc un sous-groupe de Perm(P(X)) formé d'involutions (et de l'identité)

[Ben314]

J'espère que je trouverais un jour un sous-groupe de (S_E, o) dont tous les éléments sont involutifs, ou la preuve qu'il n'en existe pas.

C'est quoi que tu appelle S_E ?
Si c'est l'ensemble des bijection de E dans E, tu risque pas de montrer grand chose de particulier concernant l'ensemble des sous groupes de S_E (avec E quelconque) car...

[chombier]

C'est quoi que tu appelle S_E ?
Si c'est l'ensemble des bijection de E dans E, tu risque pas de montrer grand chose de particulier concernant l'ensemble des sous groupes de S_E (avec E quelconque) car...

Car, si j'ai bien compris ce que j'ai lu...

Je m'intéresse en fait à un sous groupe de S_E (le groupe symétrique). Ces groupes ont un nom : de sont des groupes de permutations.

Et comme tout groupe (G; .) est isomorphe à un groupe de permutations (Théorème de Cayley), n'importe quel groupe conviens.

Par exemple, je peux construire un sous groupe de (S_P(E), o) qui sera isomorphe à (P(E), delta) et j'aurais un groupe de permutations qui vérifie toutes les hypothèses de mon problème.

[Ben314]

Je n'avais effectivement pas vu le post de Doraki quand j'ai mis le mien (une minute aprés) ce qui explique la "lègère" redondance des deux posts...

Par contre, ATTENTION : un groupe quelconque n'est pas (forcément) isomorphe à un certain S(E), mais à un sous groupe d'un certain S(E).
Par exemple, clairement, un groupe fini dont l'ordre n'est pas de la forme n! ne risque pas d'être isomorphe à un certain S(E) !

[Mikihisa]

Symétrie du rectangle ?

[chombier]

Je n'avais effectivement pas vu le post de Doraki quand j'ai mis le mien (une minute aprés) ce qui explique la "lègère" redondance des deux posts...

Par contre, ATTENTION : un groupe quelconque n'est pas (forcément) isomorphe à un certain S(E), mais à un sous groupe d'un certain S(E).
Par exemple, clairement, un groupe fini dont l'ordre n'est pas de la forme n! ne risque pas d'être isomorphe à un certain S(E) !

Finalement, à partir d'un groupe G, on peut définir pas mal de sous groupe de S(G) :
- celui dont on parle, le groupe des translations à gauche de G, qui est isomorphe à G
- son acolyte le groupe des translations à droite de G, qui est lui aussi isomorphe à G
- le groupe des isomorphismes de G, Aut(G)
- le groupe des isomorphismes intérieurs, Int(G)

J'espère que je ne dit pas trop de bêtises, je suis dans l'impro totale :ptdr: