Groupe quotient d'un groupe commutatif

[zebullon]

Voici un extrait de mon livre :

"Soient G un groupe commutatif , H un sous groupe et R la relation d'equivalence Soit E=G/R l'ensemble quotient de G par R.
Nous allons definir une loi de composition dans E.Soient u,v des elements de E .Choisissons un representant x de u , y de v.Nous allons voir que la classe de xy ne depend pas du choix des representants , mais seulement de u et v.Nous la noterons donc uv et nous aurons une loi de compo dans E.
Soient x1,y1 d'autres representants. on a avec Donc or , ce qui prouve notre assertion."

les 2 dernieres lignes...Je comprends pas ce qu'on essaie de prouver et encore moins la facon d'y arriver (x1=xs????) , donc le "ce qui prouve notre assertion." me parait assez lointain....

quelqu'un peut m'aider ? (G un niveau de 1ere annee iut info...) merci :happy2:

[Anonyme]

on veut definir une multiplication sur l'ens quotient, on se contente alors de dire que multiplier deux classes revient a prendre un quelconque des elemt de chaune des classes qu'on veut multiplier, les multipler et dire que le resultat est de la classe du produit.
explicitemt :
Les classes peuvent s'ecrire : xH ou x est un elemt quelconque de la classe
Soit donc deux classes xH et yH, on dira que (xH)(yH) est la classe (xy)H
Le truc a verifier c'est que xyH ne depend pas des representants choisis
ie si s app a xH(=sH) et t app a yH(=tH), stH est la meme chose que xyH

On le verifie en utilisant la definition de l'equivalence :

stH sera le meme ens que xyH si xy et st sont equivalents ie

or
x et s etant equiv il existe h ds H tq
donc
or car H est distingue (ou le gpe est commutatif)
donc dire equivaut a dire que puisque entre les deux on s'est juste contenté de mulitplier a gauche par un elmt de H
Finalmt n'est que la retranscription du fait que t et y sont equiv, cqfd.

[zebullon]

Globalement on veut dire que la classe d'equivalence du produit de 2 elems ne depend pas de ces 2 elems mais de la classe a laquelles ils appartiennent ?(comme dans les multiplications de classe de congruence ?)

"Le resultat est de la classe du produit" : je comprends pas cke tu veux dire :triste:

Quand tu parles de "multiplier" , aucun rapport avec la multiplication classique? C juste une loi abstraite ?( C pour etre sur...)

Tu ecris les classes : "xH ,yH", bon moi j'ai eu l'habitude de les ecrire {x} ou x avec une barre dessus... aucune difference ?

...je vais essayer de comprendre ta demo d'ici la fin de l'été... merci :we:

[Anonyme]

Globalement on veut dire que la classe d'equivalence du produit de 2 elems ne depend pas de ces 2 elems mais de la classe a laquelles ils appartiennent ?(comme dans les multiplications de classe de congruence ?)

exactemt, mais attention, il ne faut pas melanger les lois. Quand on quotiente et qu'on construit une loi de compo sur le quotient (que j'appelle systematiquemt "multiplication") seule la loi de depart qui nous interesse entre en jeu.
je veux dire par ex que dans Z, quand on quotiente pour obtenir les classes de congruence modulo n, c'est un quotient qui se fait en respect de la loi + d'addition, par consequent, quand je parle de multiplication definie sur le quotient, ici il faut traduire par addition. Concretemt une classe de congruence modulo n s'ecrit (dans mes notations):
x+nZ (alors qu'en notation multiplicative j'aurai ecrit "xH", avec H=nZ)
et l'addition de la classe x+nZ de x et de la classe y+nZ de y s'ecrira :
(x+y)+nZ (en not multiplic : "xyH")
Si ce n'est pas clair tout de suite, lis la suite du message ca t'eclairera peut-etre

"Le resultat est de la classe du produit" : je comprends pas cke tu veux dire :triste:

Je veux dire que "le produit des classes c'est la classe du produit", on prend x et y dans chaune des classes on fait xy et on dit que la classe de xy est le produit des classes de x et de y

Quand tu parles de "multiplier" , aucun rapport avec la multiplication classique? C juste une loi abstraite ?( C pour etre sur...)

tout a fait! J'utilise "multiplier" comme un terme generique, dans le cas de Z muni de l'addition, "multiplier" ca veut dire "additionner"

Tu ecris les classes : "xH ,yH", bon moi j'ai eu l'habitude de les ecrire {x} ou x avec une barre dessus... aucune difference ?

C'est la meme chose. Je trouve juste que c'est plus pratique de les voir ainsi car on peut faire des calculs ainsi. Tu peux toi-mem verifier qu'en fait la classe de x modulo le ssgpe H pour une loi notee multiplicativemt (et commutative) c'est bien l'ensemble des produits de la forme x fois un elemt de H

[zebullon]

je vais tout decortiquer , mais avant tout je souhaite te remercier (et ts ceux qui repondent...), ca fait peu de temps que G decouvert ce forum , et je l'apprecie deja bokou.
bravo a tous