Cercles homothétiques

par **hatake** » 18 Avr 2009, 15:54

Bonjour, on me demande de trouver une cns pour que deux cercles C (de centre O et de rayon r) et C' (de centre O' et de rayon r') soient homothétiques.

Je pense qu'il faut prendre

sinon C et C' sont translatés et non homothétiques.

Ensuite je pense prendre un diamètre [AB] (resp. [A'B']) de C (resp. C') et dire que si c et C' sont homothétiques alors il existe une homothétie h qui transforme A en A' et B en B'. Puis dire que le centre de h est sur

.

Mais après je ne sais pas quoi faire...
Si quelqu'un peut me mettre sur la piste...
Merci

par **Ericovitchi** » 18 Avr 2009, 16:12

A mon avis, 2 cercles peuvent toujours être considérés comme homothétiques dès qu'ils ne sont pas translatés l'un de l'autre (donc dès que r est différent de r') (et encore on pourrait considérer qu'une translation est une homothétie avec le centre rejeté à l'infini et un rapport 1).

L'homothétie est dans le rapport des rayons.

par **skilveg** » 18 Avr 2009, 20:04

Si tes diamètres sont alignés sur la droite reliant les centres, ça a l'air de marcher...

Ericovitchi, il faut se méfier quand on mélange des points à l'infini avec des distances.

par **Ericovitchi** » 18 Avr 2009, 20:20

je ne suis pas d'accord. il ne parle pas de diamètre.
il parle juste de condition nécessaire et suffisante pour que 2 cercles soient homothétiques et deux cercles sont toujours homothétiques sauf quand ils sont égaux. Et là je dis que ca revient à une homothétie avec un point d'homothétie qui part à l'infini. Je pense que c'est vrai ça.

par **nuage** » 18 Avr 2009, 21:30

Salut,
pour préciser deux cercles distincts sont toujours homothétiques.
Si ils sont concentriques c'est évident
Si il ne sont pas :
soit 0 et O' les centres r et r' les rayons des deux cercles A le barycentre de (O,r') et (O',r) on prend l'homothétie de centre A et de rapport -r/r'.

par **skilveg** » 19 Avr 2009, 11:22

Oui, effectivement, ça marche aussi quand ils sont translatés ^^

Ericovitchi, relis le premier message: la solution proposée faisait intervenir des diamètres, c'est là-dessus que je commentais, et je persiste à croire que si deux segments ne sont pas parallèles ils ne sont pas homothétiques.

Pour ton histoire d'homothétie avec centre à l'infini, c'est intuitif mais ça n'a pas beaucoup de sens: si tu rajoutes un cercle à l'infini, tu perds les propriétés euclidiennes du plan, notamment tu n'as plus de distance potable; à partir de là définir ce qu'est une homothétie est délicat.

par **Ericovitchi** » 19 Avr 2009, 14:05

ca a autant de sens que les limites ont un sens.
une homothétie c'est OM' = k OM
si on fait partir un point O à l'infini k est vu comme une limite de OM'/OM
On parle bien en géométrie de courbe bitangente à la droite de l'infini (comme l'hypocycloïde à 3 rebroussements), de points cycliques, etc... Alors une homothétie qui dégénère en translation, ça n'a rien de très original.

par **skilveg** » 19 Avr 2009, 14:58

Ok, si tu as une définition rigoureuse de ce genre de choses, ça m'intéresse. Ce qui me perturbe c'est que je ne vois pas pourquoi ton homothétie serait bien définie: d'accord, ce serait une translation de direction la droite des centres des cercles, mais de quel vecteur? Là, c'est le vecteur qui nous arrange, mais c'est un peu tendancieux.

D'ailleurs, si tu as une bonne distance sur le plan projectif (où tu sembles te placer), ça m'intéresse aussi.

par **Ericovitchi** » 19 Avr 2009, 15:26

non, tu as raison, je dis ça mais je n'ai pas vraiment de bonne définition.

Et en géométrie projective, tu as raison aussi, il y a des points à l'infini mais il n'y a pas d'homothétie, car il n'y a pas de distance, etc...

je laisse ça aux puristes, il y en a bien un qui trouvera qu'une translation est une dégénérescence d'homothétie. A grand renfort de théorie de la mesure :hum:

par **oscar** » 19 Avr 2009, 17:12

cercles homothétiques

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