Cauchy et Sturm

[Vados]

Bonjour , je ne comprend vraiment rien à ces théorèmes , je ne sais comment les utiliser et je viens demander votre aide ...

Soit p(x) = 2x^4 + 3x^3 - 3x^2 +3x + 2

1) donner la borne de Cauchy M
2) à l'aide du théorème de Sturm , montrer que p(x) a 2 racines réelles

Merci d'avance de votre aide ..

[Robot]

Ce sont des applications directes de ton cours. Relis ton cours !

[Vados]

Je n'y comprend rien à mon cours ...

[Robot]

Bonne excuse !

Peux tu au moins recopier l'énoncé de la borne de Cauchy sur le module des racines d'un polynôme ?

[Vados]

Je n'ai pas de cours sur Cauchy ...

[Robot]

D'accord, on te demande en exercice d'expliciter la borne de Cauchy pour un polynôme sans t'avoir expliqué en cours ce qu'est la borne de Cauchy.
Tu peux m'expliquer cette situation ? Parce que j'avoue que j'ai un peu de mal à comprendre.
Pareil sans doute, on te demande d'appliquer le théorème de Sturm sans t'avoir expliqué ce que c'est ?

[Vados]

J'ai reussi pour la borne de Cauchy , cependant pour Sturm je ne comprend pas , j'ai cette formule :
P1(x)=-po'(x)
P2(x)=p1(x)*q(x) - p0(x) ...

[Robot]

Le signe "moins" devant la dérivée de ne devrait pas y être. Un extrait de résumé de cours que j'avais écrit dans le temps :


Soit . La suite de Sturm de est la suite de polynômes obtenus dans l'algorithme d'Euclide pour la recherche du pgcd de et de son polynôme dérivé , à ceci près que l'on prend à chaque fois l'opposé du reste de la division euclidienne, au lieu de prendre le reste:
, , l'opposé du reste de la division euclidienne de par pour , le dernier polynôme non nul obtenu (un pgcd de et ).

Si n'est pas une racine de , on pose le nombre de changements de signe dans la suite des valeurs . On compte un changement de signe quand , ou quand et que .


Théorème de Sturm
Soient deux nombres réels qui ne sont pas racines de . Alors le nombre de racines réelles distinctes de dans est égal à .



Exemple: la suite de Sturm de est , , . On a , , . On sait bien qu'il y a une racine de dans et une dans .