Equation de Sturm-Liouville

[Pythales]

Bonjour.
On travaille sur et on suppose que toutes les fonctions sont
On considére l'équadif et une solution non nulle.
1) Montrer que et ne s'annulent pas simultanément (ça je l'ai fait)
2) Montrer que les zéros de sont en nombre fini.
Merci pour tout indice.

[Nightmare]

Salut :happy3:

Une idée :

Si l'on montre que les zéros de f sont isolés, l'ensemble des zéros sera compact et on conclue avec Borel-Lebesgue.

Suffit de montrer que les zéros sont isolés. Soit x un zéro de y. Un petit développement limité :


Supposons y'(x) soit nul, la fonction nulle serait solution de l'équadiff avec pour conditions initiales y'(x)=0 et y(x)=0 et d'après le théorème d'unicité de Cauchy on en déduit que h serait identiquement nulle sur [0,1]. Ainsi y'(x) n'est pas nul.

Il existe ainsi un voisinage de x sur lequel y ne s'annule pas.

est un compact dont les points sont isolés et de tout recouvrement ouvert de ce dernier on peut extraire un récouvrement fini. Ainsi est fini.

:happy3:

[Pythales]

Merci. Je subodorais quelque chose comme ça, mais je n'arrivais pas à formaliser.

[Nightmare]

Je t'en prie.

:happy3:

[Nightmare]

Pour info, je ne sais quel est ton niveau, mais j'avais eu cet exo en khôlle l'année dernière et le khôlleur m'avait dit gentiment avant que je me lance "attention, c'est un exo d'oral d'entrée à ULM" (ça ne met pas du tout la pression déjà :lol3:) donc il n'est pas facile.

[SimonB]

La théorie de Sturm-Liouville est aussi un grand classique des écrits de concours (l'X cette année, les Mines souvent...). Les solutions pour cet exercice sont assez nombreuses, j'aime bien celle faisant appel à Borel-Lebesgue mais elle fait appel à des outils topologiques relativement puissants...

[Pythales]

Simpn B. connais-tu une autre démo ?

[Pythales]

Simon B. connais-tu une autre démo ?

[Pythales]

Désolé pour la faute de frappe !