Cauchy par Green-Riemann

[Nightmare]

Salut à tous !

D'après mon chargé de TD d'analyse complexe, on peut démontrer le théorème de Cauchy par la formule de Green-Riemann.

Effectivement, on considérant les champs de vecteurs (Re(f),-Im(f),0) et (Im(f),Re(f),0), ils sont respectivement de rotationnel nul (Cauchy-Riemann) et

D'après Green-Riemann, le flux du rotationnel de ces vecteurs à travers le compact (??) K délimité par le lacet continu égal la circulation des champs le long de la frontière. On en déduit respectivement que les formes différentielles Re(f)dx-Im(f)dy et Im(f)dx-Re(f)dy sont d'intégrale nulle le long du lacet et donc que l'intégrale de f est nulle le long de ce lacet.


La seule chose qui me dérange, c'est que je n'arrive pas à montrer formellement que le lacet délimite un compact... C'est plutôt évident mais comment l'écrire?

Merci :happy3:

[Nightmare]

Euh, je vais me répondre tout seul en fait, mais vous pourrez confirmer : N'est-ce pas le théorème de Jordan ?

Edit : Si c'est le cas, du coup je préfère pas l'écrire :lol3:

[Ben314]

Euh, je vais me répondre tout seul en fait, mais vous pourrez confirmer : N'est-ce pas le théorème de Jordan ?

Edit : Si c'est le cas, du coup je préfère pas l'écrire :lol3:

Tout à fait Thierry, tout à fait...
Dans le "vrai" théorème, on ne suppose la fonction que continue (et injective) et ça ne se démontre pas trop facilement.
Sauf que dans ton contexte, il faut la supposer un minimum dérivable (pour intégrer le long) et, dans ce cas, il me semble qu'il y a des preuves nettement plus simples...

[Nightmare]

Merci de ta réponse Ben314 mais je t'avoue ne pas comprendre, de quelle fonction parles-tu ? Celle qu'on intègre? Dans ce cas dans le théorème est elle toujours supposée holomorphe. Si tu parles du chemins, je ne vois pas pourquoi il faut le supposer dérivable, continu suffit pour intégrer non?

[Ben314]

Je parle effectivement de la fonction définissant le chemin.
En général, (i.e. au début) on ne définit l'intégrale d'une fonction sur un chemin de C que dans le cas ou la fonction qui le définit est C1 par morceaux.
Par contre, il est vrai que, par la suite on peut généraliser cette notion à des chemins uniquement continus.

[Nightmare]

Hum, après réflexion c'est vrai que j'ai moi même appris qu'on intégrait sur un chemin au moins C1 mais sans me poser de question depuis le début je me suis dis qu'on peut le faire sur un chemin continu et je suis rassuré de voir selon tes dires qu'on peut effectivement le faire :lol3:

[Ben314]

Par contre, je ne sais généraliser à des chemins seulement continus QUE les intégrales de fonctions holomorphes (ce n'est pas étonant car dans ce contexte, si on déplace le chemin sans passer par dessus des pôles de la fonction que l'on intègre, ça ne change pas la valeur de l'intégrale)

Mais, pour l'intégrale de fonctions "quelconques", je sais pas généraliser !!! :triste:

[Arkhnor]

Salut !

Je ne pense pas qu'on puisse généraliser à n'importe quelle fonction.

En fait, on ne sait définir que l'intégrale de formes fermées le long d'un chemin continu. J'ignore s'il existe une définition pour des formes quelconques, mais ça m'étonnerait.

Pour le problème initial, j'avais remarqué que les livres pour ingénieur procédaient souvent ainsi pour démontrer Cauchy. (en passant sous silence les difficultés ...)
On peut démontrer de la même manière les formules de la moyenne pour les fonctions harmoniques.

Edit : On peut aussi montrer la formule du changement de variable dans les intégrales en dimension deux, grâce à Green-Riemann (on en déduit Stokes en dimension 3, puis le changement de variables en dimension 3, puis Stokes en dimension 4, etc ... !)