Cardinalité et ensembles finis

[Kugge]

Bonjour, comment montrer que (A u B) est un ensemble fini en utilisant le Card(A) et Card(B) à l'aide de la définition? (1)
Et aussi, comment montrer que Card((A u B)) = Card(A) + Card(B) - Card(A n B) à l'aide de la définition ? (2)

Voilà la définition :
On dit que E est un ensemble fini s'il existe un unique entier naturel n et f une bijection de {1,2,..,n} dans E.
On appelle n le cardinal de E et on le note Card(E)

Voilà ce que j'ai écrit :
(AuB) est l'ensemble des éléments de A et de B. Or A et B sont finis donc A u B est fini.
Cette explication n'est pas très mathématique est trop paraphrasée je trouve, quel est la bonne facon de le dire ?

Ensuite : (Quand je parle d'un ensemble ici je parle de son cardinal)
AuB est l'ensemble des éléments de A et de B. Cependant, AuB n'admet aucun doublon, c'est pour cela qu'on soustrait AnB.
De même pour le dessus, c'est trop abstrait et paraphrasée et pas assez mathématique.

J'aimerais avoir vos proposition de réponse a ces questions ou bien des avis ou indications. Je n'arrive pas a utiliser des quantificateurs pour ces exos.

Merci bcp!

[Tuvasbien]

On va tout d'abord supposer , le cas général s'en déduira facilement. Pour montrer que est fini, il faut exhiber un entier et une bijection de dans . On s'en doute puisque c'est censé être le cardinal de . Si (resp ) est une bijection de (resp ) dans (resp ), on définit par :


Il est assez clair que c'est une bijection : si alors comme , est ou bien dans ou bien dans , ainsi par injectivité de ou selon le cas, la surjectivité se traite de la même manière. Bref est une bijection donc est fini et de cardinal . Revenons au cas général, si on prend et quelconques, posons alors et donc d'après ce qui précède, est fini et . D'autre part, et puisque alors d'après le premier point, d'où puis enfin (ouf !).

[LB2]

@Kugge Ce que tu as écrit n'est effectivement pas une démonstration mathématique.

Pour démontrer que AUB est fini, il suffit ... de vérifier la définition.
Premier cas : A et B en union disjointe.

On construit une bijection de {1,...,card(A)+card(B)} dans AUB (l'union est disjointe)

On généralise aisément par récurrence que si A1, A2, ..., Ak sont finis, l'union disjointe
A1UA2U...UAk est finie, et de cardinal card(A1)+...+card(Ak).

Cas général : on écrit AUB = (A\B)U(A inter B) U (B/A), l'union étant disjointe dans le membre de droite.
Et on applique le résultat précédent à cette union disjointe.
Conclusion : AUB est fini et card(AUB) = card(A\B) + card(A inter B) + card(B\A).
On conclut aisément encore une fois en justifiant que card(A\B) = card(A) - card(A inter B) par union disjointe.

Je ne sais pas s'il existe une démonstration plus simple, ou si les autres démonstrations reviennent à ce que j'ai fait ici.
@Tuvasbien : nos messages se sont croisés! Dans ton message, tu explicites la construction rigoureuse de la bijection évoquée, dans le cas A et B disjoints. C'est la clé de la démonstration

@Kugge : en général en combinatoire, pour montrer que deux ensembles ont même cardinal, on peut chercher une preuve bijective, c'est à dire à construire une bijection d'un ensemble vers l'autre. Cela peut être assez compliqué d'avoir l'idée d'une telle bijection (la combinatoire est parfois une affaire de spécialiste)

[lyceen95]

Pour la première question, on te dit : 'monter que A U B est un ensemble fini en utilisant Card(A) et Card(B).
Et dans ta réponse , tu n'emploie à aucun moment le mot 'Cardinal'. Ta réponse n'est donc pas celle attendue.

Et pour la 2ème question .... j'aime encore moins ta réponse.

Edit : 2 réponses ont été postées pendant que j'écrivais... tant pis si ça fait doublon.

[LB2]

lyceen95, je ne sais pas si tu t'adresses à moi ou à Tuvasbien, mais il me semble que s'il y a un problème de rigueur, il se situe davantage dans l'énoncé exact de la question : "comment montrer que (A u B) est un ensemble fini en utilisant le Card(A) et Card(B) à l'aide de la définition?"
n'est pas très bien formulé, il faudrait dire plus simplement: "comment montrer que (A u B) est un ensemble fini à l'aide de la définition?".

[lyceen95]

Je m'adressais à Kugge ; je n'avais pas vu vos messages quand j'ai envoyé le mien.