Cardinalité des bases

[El_Gato]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire cet exercice:

E est un K-espace vectoriel de dimension non finie, avec K corps de caractéristique nulle. A et B sont deux bases de E. Montrer qu'il existe une bijection de A sur B.

Si quelqu'un sait le faire ou l'a déjà fait, me donner une indication serait sympa.

[Vedeus]

L'idée de base est de s'appuyer sur le fait que chaque élément de A
n'a qu'un nombre fini de coordonnées non nulles dans la base B.
En l'exploitant intelligemment, on prouve l'existence d'une injection de A
dans B (moyennant l'axiome du choix). Par symétrie, on obtient l'existence d'une injection de B dans A, et Cantor-Bernstein fait le reste.

P.S. : je ne crois pas que l'hypothèse sur la caractéristique de K soit d'une quelconque utilité.

[El_Gato]

L'idée de base est de s'appuyer sur le fait que chaque élément de A
n'a qu'un nombre fini de coordonnées non nulles dans la base B.
En l'exploitant intelligemment, on prouve l'existence d'une injection de A
dans B (moyennant l'axiome du choix). Par symétrie, on obtient l'existence d'une injection de B dans A, et Cantor-Bernstein fait le reste.

Merci ! Donc en fait il faut plus ou moins reprendre la démonstration de l'existence des bases, et construire l'injection par une méthode de minimalité. Je vais essayer de faire ça.

[Vedeus]

Merci ! Donc en fait il faut plus ou moins reprendre la démonstration de l'existence des bases, et construire l'injection par une méthode de minimalité. Je vais essayer de faire ça.

Relis mon message, je n'ai absolument pas dit une chose pareille.
Bon alors une autre indication : à chaque élément x de A, on peut associer
l'ensemble (fini) des éléments de B sur lesquels x a une coordonnée non nulle.
Ceci définit une application de A dans l'ensemble des parties finies de B.
Elle n'est pas injective, mais tout élément de B admet un nombre fini d'antécédents par celle-ci.

Peut-être est-il utile de rappeler que B (puisqu'il est infini) est en bijection avec l'ensemble de ses parties finies.

[El_Gato]

Peut-être est-il utile de rappeler que B (puisqu'il est infini) est en bijection avec l'ensemble de ses parties finies.

OK. C'est ce résultat là que je n'avais pas pensé à utiliser. Je pensais refaire un argument de minimalité à la Zorn comme dans la preuve de l'existence des bases. OK c'est clair maintenant. Merci beaucoup.