Calcul d’une série

[Sara1999]

Bonjour,
Je me bloque devant le calcul de cette somme infinie de ln ( (8n+3)(8n+5)/(8n+1)(8n+7)) , n>=0.
J’ai essayé de l’écrire sous forme des 2 différences suivantes mais ceci ne m’a pas aidé:

La somme de ln( 1+ 2/(8n+1)) - la somme de ln( 1+ 2/(8n+5)) .

Merci de m’indiquer une piste claire à suivre.

[phyelec]

Bonjour,

ln ( (8n+3)(8n+5)/(8n+1)(8n+7))= ln ( (8n+3)+ln(8n+5)-ln(8n+1)-ln(8n+7))

jouez sur les indices , voici un exemple



faites les sommes, ils restent certains éléments et passez à la limite quand N temps vers l'infini.

[Sara1999]

Désolée, mais j’arrive juste à une expression avec ln(8n+3, ln(8n-3) , ln(8n+1) et ln(8n-1) sans vraiment avancer car le 8n n’est pas comme le n de l’exemple.

[Ben314]

Salut,
Pffffff..... c'est coton ton truc.....
J'y arrive, mais en utilisant de gros outils, plus précisément la fonction Gamma :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma

Lorsque
Donc
Mais (formule des compléments) .
Donc
Et ta somme, qui est , tend donc vers .

Vu la simplicité du résultat, il y a éventuellement une méthode ne demandant que des outils rudimentaires, mais à froid, je ne vois pas bien comment faire . . .

[Sara1999]

Je continue avec l’indication de Phyelec, j’arrive au résultat suivant: ln(3)+ln((8N+5)/(8N+7))+ Sum ln( 1- (64n^2-1)) , n=1 à N .
Lorsque N tend vers l’infini, il reste juste la dernière somme que je n’arrive pas encore à calculer? Est-elle simple? Si oui comment s’il vous plait?

[Ben314]

Le problème, c'est que contrairement à l'exemple que donne Phyelec, dans ton produit il n'y a absolument rien qui se télescope (et ce n'est évidement pas en l'écrivant sous forme de somme de log que ça va changer quoi que ce soit de se coté là . . .).

Si on veut rester dans le vaguement rudimentaire, le seul truc qui me vient à l'esprit, c'est d'essayer d'utiliser le fait que le produit des impairs (de 1 à 2n-1) ça peut s'écrire avec des factorielles donc s'approximer à l'aide de la formule de Stirling. Mais je ne crois pas qu'on puisse faire la même chose avec par exemple le produit des (4k+1) ou pire, des (8k+1). Là, je ne sais m'en sortir qu'avec la fonction Gamma . . .

[Sara1999]

Justement, il n’y a pas moyen de faire une telescopie, je ne vous là que le seul moyen d’utiliser la fonction Gamma.
Merci pour votre éclaircissement.

[Ben314]

A la limite, si tu trouve ça plus simple, on peut aussi s'en sortir en utilisant le développement en produit infini du sinus (qui correspond plus ou moins à la formule des complément pour la fonction gamma) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sinus_(math%C3%A9matiques)#Fraction_partielle_et_d%C3%A9veloppement_en_s%C3%A9rie_du_sinus_complexe
et le D.V. du sinus en produit nous dit directement que le numérateur tend vers et le dénominateur vers .

Et le développement en produit infini du sinus, il y a des preuves utilisant uniquement des outils élémentaires si ça t’intéresse (c'est relativement calculatoire, mais bon, quand on a pas les bons outils, c'est souvent comme ça . . .)

[Sara1999]

Cette deuxième démarche est très courte et met en valeur la fonction sinus. Merci beaucoup.