Calcul de somme

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 14:43

Bonjour, comment déterminer :

1+ 1/(2*3) + 1/(4*5) + 1/(6*7)+.......... ?

Deja vu comme l'énoncé est posé la somme s'arrete ou ?

Merci...

par **emdro** » 15 Juil 2007, 14:54

Elle ne s'arrête pas, elle va jusqu'à l'infini.

Ce n'est pas un problème, on peut -parfois- additionner un nombre infini de quantités positives sans pour autant devenir très grand.

C'est le cas ici puisque:

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 15:08

Ah d'accord merci ........

Donc je peux noter : S= 1 +sum(k=2...+inf)[1/ k(k+1) ]=1+ 1/(2*3) + 1/(4*5) + 1/(6*7)+.......... ?

par **emdro** » 15 Juil 2007, 15:10

...........Oui!

Edit: oui, modulo les modifications de rain' !

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 15:14

Ok merci je vais essayer de calculer S.

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 15:18

Déja ,je décompose en éléments simples j'obtiens :

S=1+ (1/2).Sum(k=1...+inf)[1/k- 2/(2k+1)]

C'est pas tout a fait téléscopiqUE....

par **emdro** » 15 Juil 2007, 15:24

Ce n'est pas du tout telescopique.

Je ne suis pas certain que tu parviennes à exprimer la somme...

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 15:25

Ah d'accord ca doit pas etre la bonne méthode....

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 17:01

Quelqu'un saurait comment faire ?

par **emdro** » 15 Juil 2007, 17:05

Que veux-tu faire exactement?
Exprimer la somme? Donner une valeur approchée au centième près? Prouver que la somme existe?...

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 17:10

Je veux la calculer....L'énoncé stipule calculer.....

par **emdro** » 15 Juil 2007, 17:15

Je viens de demande à Maple qui m'a répondu 2-ln2. C'est donc possible. Reste à savoir comment...

par **nuage** » 15 Juil 2007, 17:26

Salut,
La somme demandé peut s'écrire

Et on sait que :

D'où la réponse

par **alben** » 15 Juil 2007, 17:29

Bonsoir
Soit

(avec =1/4.5=2/4-1/4-1/5)

et donc

il suffit d'encadrer la somme par l'intégrale et l'on obtient

et donc la limite est 2-ln(2)
EDIT : grillé par Nuage et Rain'

par **emdro** » 15 Juil 2007, 17:31

J'écrirais
Sn=1+1/2-1/3+1/4-1/5+...+1/(2n)-1/(2n+1)
Sn=1+1/2+1/4+1/6+...+1/(2n)-[1/3+1/5+...+1/(2n+1)]

Comme je n'aime pas trop les nombres impairs, je complète:

Sn=1+2*[1/2+1/4+1/6+...+1/(2n)]-[1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/(2n)+1/(2n+1)]
Sn=2+2/2*[1+1/2+1/3+...+1/n]-[1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/(2n)+1/(2n+1)]

Or on sait que

[1+1/2+1/3+...+1/n] vaut environ ln(n)+gamma (constante d'euler)

D'où
Sn=2+ln(n)+gamma-[ln(2n+1)+gamma] (le égal, c'est équivaut à)
Sn=2+ln(n/(2n+1))

et donc S=2-ln(2)

par **emdro** » 15 Juil 2007, 17:33

Trois solutions différentes, c'est le pied! :++:

par **emdro** » 15 Juil 2007, 17:46

Rain' a écrit:J'arrive pas à voir où ça cloche ce que j'ai fait, c'est faux c'est sur, mais où ?

Bon d'un autre côté c'est illisible alors forcément :hein:

Rain',

je ne sais pas si c'est cela, mais tu sais qu'il n'y a pas de commutativité avec les séries de signe quelconque. Donc quand tu commences à écrire tous les termes positifs moins tous les négatifs, rien ne dit que tu conserves la somme...

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 19:02

Ok merci ,par contre je ne vois pas d'ou vient:

ln2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17 \cdots

Merci....

par **Sylar** » 15 Juil 2007, 19:23

Ah oui exact ,merci.

par **Bouchra** » 15 Juil 2007, 19:37

pour |x|<1. Après il faut justifier que lorsque l'on fait tendre x vers 1, ça revient à remplacer x par 1 dans la somme. (en montrant que la série converge uniformément sur [0,1] par exemple (avec les séries alternées..)). Non ?

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