Borne d'une intégrale sur domaine du plan

[Mysterion]

Salut,

J'essaye de déterminer les bornes d'une intégrale sur un domaine après changement de variable :

D'abord le domaine : D = { 0
Le changement de variable : u = x+y et v = xy


Alors je fixe u : u varie entre 2 et 4

Ensuite pour v je ne sais pas...

[Skullkid]

Bonsoir, as-tu fait un dessin ? Quelle est la fonction à intégrer ?

On ne peut pas décrire ton domaine avec des contraintes sur les seules variables x+y et xy puisque ces quantités sont invariantes si on échange x et y alors que ton domaine ne l'est pas, à cause de la condition x
Si la fonction à intégrer n'est pas invariante sous l'échange de x et y, il faut considérer un autre changement de variable, par exemple u = x+y et v = y-x.

[Mysterion]

Bonsoir, as-tu fait un dessin ? Quelle est la fonction à intégrer ?

On ne peut pas décrire ton domaine avec des contraintes sur les seules variables x+y et xy puisque ces quantités sont invariantes si on échange x et y alors que ton domaine ne l'est pas, à cause de la condition x<y. Donc en toute généralité ton changement de variable n'est pas adapté au domaine, mais tu peux retomber sur tes pattes si la fonction à intégrer est elle-même invariante sous l'échange de x et y.

Si la fonction à intégrer n'est pas invariante sous l'échange de x et y, il faut considérer un autre changement de variable, par exemple u = x+y et v = y-x.

Ok, la fonction à intégrer est . Si on échange x et y, la fonction est invariante.

J'ai fait un dessin mais je n'arrive pas à déterminer les bornes de la variable v en fonction de u

[Skullkid]

Ton domaine est délimité par trois courbes : la droite y = x, la droite x+y = 4 et l'hyperbole xy = 1. Qund tu fixes la valeur de u = x+y entre 2 et 4, tu astreins ton "point courant" à se déplacer sur la droite x+y = u, tout en restant dans ton domaine. Si tu imposes de plus que xy = 1, ton point se retrouve sur une des deux intersections entre la droite x+y = u et la frontière de ton domaine. Ce que tu cherches c'est la valeur vmax(u) de xy à la deuxième intersection entre la droite x+y = u et la frontière de ton domaine.

Tu auras alors montré que ton domaine est inclus dans le domaine {2 < x+y < 4 ; 1 < xy < vmax(x+y)}. Les deux domaines sont-ils égaux ?

[Mysterion]

Ton domaine est délimité par trois courbes : la droite y = x, la droite x+y = 4 et l'hyperbole xy = 1. Qund tu fixes la valeur de u = x+y entre 2 et 4, tu astreins ton "point courant" à se déplacer sur la droite x+y = u, tout en restant dans ton domaine. Si tu imposes de plus que xy = 1, ton point se retrouve sur une des deux intersections entre la droite x+y = u et la frontière de ton domaine. Ce que tu cherches c'est la valeur vmax(u) de xy à la deuxième intersection entre la droite x+y = u et la frontière de ton domaine.

Tu auras alors montré que ton domaine est inclus dans le domaine {2 < x+y < 4 ; 1 < xy < vmax(x+y)}. Les deux domaines sont-ils égaux ?

Ok. Bon je reconnais bien mon dessin dans ta description.

Il faut donc trouver la valeur de xy en fonction de x+y=4 mais je vois pas comment...

[Skullkid]

La droite x+y = u, avec u fixé entre 2 et 4, intersecte la frontière de ton domaine en deux points, disons A et B. Au point A tu as xA*yA = 1. Que vaut xB*yB ?

[Mysterion]

La droite x+y = u, avec u fixé entre 2 et 4, intersecte la frontière de ton domaine en deux points, disons A et B. Au point A tu as xA*yA = 1. Que vaut xB*yB ?

Ah, d'accord, je crois que j'ai saisi,

au deuxième point on a xB=yB donc xB*yB = (xB)^2 = (yB)^2.

Et comme le point d'intersection de la droite x=y et x+y=u a pour coordonnée [u/2; u/2]. C'est notre point d'intersection dans un "sens plus large".

On a donc

Donc v varie entre 1 et . N'est-ce pas ?

Après il y a peu-être plus court comme raisonnement mais c’est ça ?

[Skullkid]

Oui c'est le bon raisonnement. Après tu n'as plus qu'à écrire le jacobien de la transformation (u,v) -> (x,y) pour faire le changement de variables proprement dit.

Je me rends compte que je me suis un peu égaré dans mes premiers posts : on ne peut en effet pas décrire ton domaine uniquement par des conditions sur u et v, mais ce n'est pas important ici car on peut le mettre en bijection avec un tel domaine.

[Mysterion]

Oui c'est le bon raisonnement. Après tu n'as plus qu'à écrire le jacobien de la transformation (u,v) -> (x,y) pour faire le changement de variables proprement dit.

Je me rends compte que je me suis un peu égaré dans mes premiers posts : on ne peut en effet pas décrire ton domaine uniquement par des conditions sur u et v, mais ce n'est pas important ici car on peut le mettre en bijection avec un tel domaine.

Ok merci bien :we:.