Borne supérieure

[Tuturinette]

Bonsoir!

C’est la première fois que je poste ici, j’essaye toujours de me débrouiller au plus ou de trouver des sujets correspondant à mon problème mais... je reste bloquée !

Pour une kholle à la rentrée je dois préparer quelques questions, l’une étant de démontrer le théorème suivant : toute partie de R non vide et majorée possède une borne supérieure. Le théorème étant « admis » dans mon cours je n’ai aucune piste... parfois les théorèmes de ce chapitre semblent si « évidents » que je me retrouve à ne pas savoir quoi faire !
Est-ce que quelqu’un serait capable de m’aider, de me donner une quelconque piste s’il vous plaît? Merci!

[mathelot]

bonsoir,
il y a au moins deux façons de définir l'ensemble des réels.

a) démarrer avec l'ensemble C des suites de Cauchy de rationnels et de quotienter cet ensemble
par la relation , ie, quotienter C par l'idéal des suites de Cauchy de limite nulle.
b) définir R par les coupures de Dedekind où x=(A|B), un réel x étant défini par deux ensembles adjacents A et B de rationnels.
les ensembles A et B vérifiant la propriété

, il existe et tels que


https://fr.wikipedia.org/wiki/Coupure_de_Dedekind
https://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els

Je pense que la définition par les coupures est plus pratique pour démontrer ton théorème.

[tournesol]

Bonjour
Les réels ne sont pas définis en prépas . En gros , c'est plus que les rationnels et c'est de partie imaginaire nulle .
Ce qui est admis avant la prépa , c'est que toute suite croissante et majorée converge .
On demontre aussi que deux suites adjacentes convergent vers la même limite .
Soit A une partie non vide de R , a appartenant à A et b un majorant de A .
On pose a0=a , b0=b , i0=(a0+b0)/2 et soit r0 un réel de l'intervalle [a0,b0]
Si i0 est un majorant de A , alors a1=a0 , et b1=i0 . Sinon , a1=i0 et b1=b0 .Enfin soit r1 un reel de l'intervalle [a1,b1]
On définit ensuite par récurrence et par le même procédé les suites (an) ,(bn) , et (rn) .
On montre ensuite que (an) et (bn) sont adjacentes et donc de même limite l .
Par le théorème des gendarmes , la suite (rn) tend vers l .
l est un majorant de A car l<x et x dans A entraine qu'il existe bn telque et tous les bn sont des majorants de A .
Il ne te reste plus qu'à montre par l'absurde que l est le plus petit majorant de A .

[tournesol]

J'ai oublié de préciser que le réel rn est choisi dans A inter [an,bn]

[GaBuZoMeu]

Bonsoir tournesol,

Je ne comprends pas bien l'intérêt de la suite . Tu construis par dichotomie deux suites adjacentes et telles que est toujours majoré par un élément de et toujours un majorant de . Ça suffit pour montrer que la limite commune des deux suites est le plus petit des majorants de .

[tournesol]

Bonne annee à toi , GaBuZoMe , et merci .
rn est un élément de A qui majore an . Il est introduit pour exprimer celà mais effectivement ce n'est pas utile .