Borne supérieure

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit fn une suite de fonction continue sur un segment [a,b] qui converge uniformément vers f aussi continue sur [a,b]

Je comprends pas pourquoi on doit justifier l'existence de Sup |fn -f| en disant que fn - f est continue.

La borne Sup existe que pour des fonctions continues ?

[pascal16]

sur [0;1]
f(0)=0 et f(x)=1/x ailleurs
est définie sur [0;1], mais non continue et non bornée

[mehdi-128]

sur [0;1]
f(0)=0 et f(x)=1/x ailleurs
est définie sur [0;1], mais non continue et non bornée

Utiliser que toute fonction continue sur un compact est bornée ?

[Arbre]

@Mehdi : Oui, tu as raison.
Mais note que pour qu'un sup d'un ensemble E, existe il suffit de 2 ingrédients :
-E soit non vide.
-E est majoré.

Si on aurait dit par exemple que l'on travaille avec les fonctions réels bornées, alors pas besoin de la continuité, mais ici on ne donne que l'ensemble de départ qui est un compact pour la topologie usuelle des réels, d'où le fait que la continuité donne une info ici.

Note que la continuité toute seule n'apporte rien (pour l'existence du Sup), prends par exemple 1/x sur ]0,1].

[mehdi-128]

@Mehdi : Oui, tu as raison.
Mais note que pour qu'un sup d'un ensemble E, existe il suffit de 2 ingrédients :
-E soit non vide.
-E est majoré.

Si on aurait dit par exemple que l'on travaille avec les fonctions réels bornées, alors pas besoin de la continuité, mais ici on ne donne que l'ensemble de départ qui est un compact pour la topologie usuelle des réels, d'où le fait que la continuité donne une info ici.

Note que la continuité toute seule n'apporte rien (pour l'existence du Sup), prends par exemple 1/x sur ]0,1].

Je vois !

Mais 1/x n'est pas continue en 0 non ?

[Arbre]

Oui c'est pour cela que j'ai pris l'intervalle non compact ]0,1]