Bijection

[Anonyme]

salut à tous je voudrais savoir comment l'on fait pour demontrer que f(z)=(z-i-2)/(z+i) est une bijection de C-(-i) sur C-(1).

merci de vos reponses et de votre aide.

[cesar]

bonjour,
tu commences par montrer que c'est une application.
chaque point de l'ensemble de départ a une image. C'est bien le cas, car le seul point pour lequel f ne pourrait pas être définie, c'est z= -i et il a été enlevé de l'ensemble de départ.

ensuite tu montres qu'elle est surjective : si y est un element de l'ensemble d'arrivée, alors il existe z,tel que f(z)=y.
tu trouves en inversant:

z= (iy+i+2)/(1-y)
si je ne me suis pas trompé, z existe toujours , sauf si y=1. mais 1 a été retiré de l'ensemble d'arrivée. donc f est surjective.

ensuite tu montres que f est injective. si z1 et z2 sont telles que
f(z1)=f(z2) alors z1=z2
je te le laisse faire. C'est facile en s'inspirant de la demo sur la surjectivité...

ensuite tu conclus : f est une application injective et surjective donc bijective...

[singleton]

Exhiber la réciproque démontre directement la bijectivité de f : la réciproque d'une fonction non injective n'est pas exprimable (fonction "multiforme", à multiples valeurs), et la réciproque montre que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a une antécédent par f (surjectivité).

On est donc bien en présence d'une injection et d'une surjection, donc d'une bijection.

[cesar]

Exhiber la réciproque démontre directement la bijectivité de f : la réciproque d'une fonction non injective n'est pas exprimable (fonction "multiforme", à multiples valeurs), et la réciproque montre que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a une antécédent par f (surjectivité).

On est donc bien en présence d'une injection et d'une surjection, donc d'une bijection.

c'est ce que j'avais laissé à faire à non inscrit !!! Grrrr !!!... tu l'as fait à sa place.