Bijection

[minidiane]

Bonjour je n'arrive pas à trouver une bijection de [0,1] -> ]0,1]
Quelqu'un peut m'aider?
Merci.

[legeniedesalpages]

Bonjour, l'application identique en est une.

D'ailleurs tout ensemble X est en bijection avec lui-même.

[fahr451]

bonjour

ce n 'est pas si simple

je te propose une solution graphique (les formules vont après)
f sera affine par morceaux
dessine ton carré unité coupe le en 4

dans le premier petit carré (en bas à gauche [0,1/2[x[0,1/2[)

trace la diagonale celle parallèle à la seconde bissectrice

c'est la courbe de f sur [0,1/2[

puis redécoupe en 4 le carré du haut à droite et recommence ce que je t'ai dit avec le nouveau petit carré

etc etc

et finalement f(1) = 1

[aviateurpilot]

Bonjour, l'application identique en est une.

c'est faux car dans ce cas on a

voila une bijection

pour
si
dans ce cas il est facile de verifié que g est une bijection de vers
et aussi une bijection de vers
d'ou g est une bijection de vers

[legeniedesalpages]

oups désolé, je n'avais pas vu que l'ensemble d'arrivée est ]0,1]. :briques:

[minidiane]

bonjour

ce n 'est pas si simple

je te propose une solution graphique (les formules vont après)
f sera affine par morceaux
dessine ton carré unité coupe le en 4

dans le premier petit carré (en bas à gauche [0,1/2[x[0,1/2[)

trace la diagonale celle parallèle à la seconde bissectrice

c'est la courbe de f sur [0,1/2[

puis redécoupe en 4 le carré du haut à droite et recommence ce que je t'ai dit avec le nouveau petit carré

etc etc

et finalement f(1) = 1

ok mais c'est la quelle la seconde bissectrice?

[fahr451]

y = -x la diagonale qui "descend"

[minidiane]

ok merci
et là je dois voir quoi exactement?

[fahr451]

tu as recommencé avec le carré du haut ?

[minidiane]

oui je l'ai coupé en 4 puis j'ai tracé diagonale

[fahr451]

tu as donc f sur [1/2 , 3/4[


et tu recommences etc etc

tu auras finalement f sur [0,1[ et reste à poser f(1) = 1

et on "voit" bien sur le dessin qu 'on a une bijection

[minidiane]

a ok c'est une sorte de fractal?

[fahr451]

si tu veux

un chou fleur en somme

[minidiane]

ok mais en fait sa donne qui comme équation?

[fahr451]

tu as besoin des équations ?

pas moi

[aviateurpilot]

voila une bijection

pour
si
dans ce cas il est facile de verifié que g est une bijection de vers
et aussi une bijection de vers
d'ou g est une bijection de vers

tu a compris cette bijection

[minidiane]

euh non pas trop

[aviateurpilot]

euh non pas trop

soit
tu peux montrer facilement que g est bijectif de vers
et puis que g est bijectif de vers
d'ou g est bijectif de vers
et là j'ai utilisé ce resultat:
si et bijection tel que alors est une bijection

[minidiane]

tu as besoin des équations ?

pas moi

euh oui je pense

ok merci aviateurpilot