Soit
1/ Décrire
Réussi.
2/ Dans le cas général établir que :
Réussi.
3/ Montrer que :
Réussi.
4/ En introduisant une bijection bien choisie, déterminer le cardinal de
Je ne vois pas le lien avec la question précédente ni comment trouver la bijection
Bijection
6 messages
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Bijection
par mehdi-128 » 30 Juil 2019, 00:39
Bonsoir,
Soit
un ensemble et 
une partie de . On définit :
 \longrightarrow \mathcal{P}(E) \\ X \mapsto X \cap A)
et
 \longrightarrow \mathcal{P}(E) \\ X \mapsto X \cup A)
1/ Décrire))
et ))
lorsque 
et 
.
Réussi.
2/ Dans le cas général établir que :)=\mathcal{P}(A))
Réussi.
3/ Montrer que :)=\{A \cup X , X \in \mathcal{P}(\mathcal{C}A) \}=\{Y \in \mathcal{P}(E) | A \subset Y \subset E \})
Réussi.
4/ En introduisant une bijection bien choisie, déterminer le cardinal de.
Je ne vois pas le lien avec la question précédente ni comment trouver la bijection
Soit
1/ Décrire
Réussi.
2/ Dans le cas général établir que :
Réussi.
3/ Montrer que :
Réussi.
4/ En introduisant une bijection bien choisie, déterminer le cardinal de
Je ne vois pas le lien avec la question précédente ni comment trouver la bijection
Re: Bijection
par GaBuZoMeu » 30 Juil 2019, 07:38
Quand une partie de contient , ce qui fait son originalité ce sont les éléments en dehors de .
D'où l'idée d'utiliser
pour établir une bijection entre l'ensemble des parties de disjointes de et l'ensemble des parties de contenant , qui est ))
.
D'où l'idée d'utiliser
Re: Bijection
par mehdi-128 » 30 Juil 2019, 11:14
Merci !
Donc il faut montrer que l'application : \longrightarrow g_A ( \mathcal P(E)) \\ X \mapsto X \cup A)
est bijective.
est surjective car ) =\{A \cup X , X \in \mathcal{P}(\mathcal{C}A) \})
.
Montrons qu'elle est injective. Prenons 2 éléments)
tels que : =g_A(X_2))
. On a alors : 
En intersectant avec le complémentaire de dans et en remarquant que : )
:
 \bigcap (X_1 \cup A) = C_E (A) \bigcap (X_2 \cup A))
Or : \bigcap (X_1 \cup A) = (C_E (A) \cap X_1) \cup (C_E(A) \cap A) = X_1 \cup \emptyset = X_1)
Ainsi
d'où l'injectivité.
L'application est bien surjective.
)
est un ensemble fini de cardinal })
et que ))
peut être mis en bijection avec alors :
 = 2^{card \ C_E(A)})
Donc il faut montrer que l'application :
Montrons qu'elle est injective. Prenons 2 éléments
En intersectant avec le complémentaire de
Or :
Ainsi
L'application est bien surjective.
Re: Bijection
par GaBuZoMeu » 30 Juil 2019, 13:16
Je trouve que tu es un peu léger avec la surjectivité. Il faut dire que pour toute partie 
de contenant , il existe une partie 
disjointe de telle que 
. C'est assez évident, mais vu les précautions que tu prends d'habitude je ne suis pas sûr que sur ce coup-ci tu aies bien vu le problème. Si ?
Re: Bijection
par mehdi-128 » 30 Juil 2019, 15:47
Je n'ai pas utilisé la définition des parties de contenant .
J'ai utilisé :
Donc à fortiori :) \subset \{A \cup X , X \in \mathcal{P}(\mathcal{C}A) \})
Soit))
. Alors  \})
, Y=A \cup X)
On a montré :), \exists X \in \mathcal{P}(\mathcal{C}A), Y=A \cup X)
J'ai utilisé :
Donc à fortiori :
Soit
On a montré :
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