Bijection

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit une fonction définie de à valeurs dans par



1/ Montrer que est strictement croissante sur .
2/ Démontrer que est une bijection et déterminer une expression de sa réciproque.

Je vois pas trop comment montrer qu'une fonction de cette sorte est strictement croissante.

[hdci]

Je vois pas trop comment montrer qu'une fonction de cette sorte est strictement croissante.

Peut-être qu'il suffit juste d'appliquer la définition de la croissance stricte ?
C'est-à-dire, montrer que



Les valeurs absolues gènent ? Alors, séparer en plusieurs cas pour faire disparaître ces valeurs absolues (c'est-à-dire : à quoi est égal selon les différentes valerus possibles de ?

[FLBP]

Salut,
tu peux montrer que les dérivées dans et sont strictement positives

[mehdi-128]

1er cas :


2eme cas :
Soit

Alors et

Je dois montrer que :

Là je me suis perdu dans des calculs mais j'arrive pas.

[pascal16]

regarde le signe de la quantité :


-> mise sous même dénominateur
-> on étudie le signe du numérateur

[mehdi-128]

regarde le signe de la quantité :


-> mise sous même dénominateur
-> on étudie le signe du numérateur

Ah bah oui merci ! J'avais oublié que j'ai pris x dans

[mehdi-128]

2ème cas :
Étudions le signe de :

pour

On a :

Le dénominateur étant positif, et comme : on obtient :

c'est-à-dire alors est strictement croissante sur

3ème cas :
Étudions le signe de :

pour

On a :

Là je bloque pour étudier le signe du dénominateur...

[Mimosa]

Bonjour

Qu'est-ce que tu compliques… Si tu avais tracé la fonction tu aurais probablement compris plus vite! Il est évident qu'elle est impaire, donc il suffit de l'étudier sur

On prend . Sur cet intervalle, on a , que tu peux étudier comme tu veux (dériver est une bonne idée). Ce qui est clair c'est que et que si , on a



dont le signe est évidemment positif.


La deuxième question est mal recopiée, est un ensemble, donc ça n'a aucun sens. Il faudrait savoir bijection de quoi sur quoi!

[mehdi-128]

@Mimosa

Bien vu pour l'imparité

Bah la bijection est forcément de sur ...

Je vais essayer de montrer qu'elle est bijective et je vous écrirai mon raisonnement.

[Kolis]

Bonjour !
Attention ! Il ne faut pas utiliser la parité et étudier seulement sur , on peut avoir une fonction croissante sur chaque intervalle et non monotone sur la réunion.

Autre idée pour ta fonction :

[pascal16]

comme la fonction est impaire et continue en 0 (et donc f(0)=0), c'est un des cas où l'étude sur R+ suffit. Le tout est d'être capable d'expliquer pourquoi et de bien faire attention(le contre exemple de référence étant la fonction inverse).

[mehdi-128]

Bonjour !
Attention ! Il ne faut pas utiliser la parité et étudier seulement sur , on peut avoir une fonction croissante sur chaque intervalle et non monotone sur la réunion.

Autre idée pour ta fonction :

Ah pourtant j'ai lu cette propriété dans plusieurs cours c'est étrange...

Astucieuse votre écriture ! Et en 0 ? Vous prenez en compte que les cas <0 et >0 ...
Soit
Alors :

donc

Par passage par l'inverse :

Finalement : d'où la stricte croissance sur

[mehdi-128]

Pour la question 2, ce que j'ai fait.

Soit . Montrons que y possède un unique antécédent x dans .
Supposons
On cherche à montrer qu'il existe un unique x dans tel que :


Or donc x et y sont de même signe.

Si alors et

Dans ce cas je trouve :

Si alors et

Dans ce cas je trouve :

Finalement : :

Mais comment montrer que cette équation possède une unique solution dans ?

[hdci]

Vous avez montré que tout y admet un antécédent, donc f est surjective (il faut ajouter le cas mais je crois que c'est fait un peu plus haut)

Comment montrer que cet antécédent est unique ?
Soit vous remarquez que par disjonction de cas, vous avez raisonné par équivalence et avec une remarque sur les signes vous en déduisez l'unicité de la réponse.
Soit vous écrivez et avec un peu d'argument vous arrivez à ce qui prouve l'injection.

Il y a un (tout petit) peu de rédaction formelle à faire.

[mehdi-128]

Je vois plus pour la deuxième méthode :

1er cas : donc
Soient

ce qui équivaut à :
Soit
Le dénominateur étant strictement positif on obtient :

Par contre j'ai un doute sur une chose :
J'ai choisi

Pour et il faut montrer que n'admet qu'une solution unique !
Pour on a déjà un antécédent qui est
Pour on a déjà un antécédent qui est

Du coup, il faut montrer que : et n'admettent pas de solution dans ?

[Mimosa]

Réponse à la dernière question: oui, bien sûr!

[mehdi-128]

Soit
Résolvons l'équation :
Sur : pas de solution
Sur :

Y a un truc que je comprends pas, on trouve des solutions à autres que

[Mimosa]

N'importe quoi!



car

[mehdi-128]

N'importe quoi!



car

C'est qu'il faut résoudre... Et montrer que cette équation n'a pas de solution dans

Pourquoi vous avez mis égal 0 ?

[Mimosa]

Désolée, je ne savais plus ou j'en étais.

On veut donc . Comme , on doit avoir aussi , impossible puisqu'alors x=1+x.

Si on veut on trouve , donc et alors tout aussi impossible.