Bijection

[samirou]

Bonjour, je demande de l'aide pour cet exercice j'ai beaucoup de souci pour le faire:

Soit f:F ;) E et g:G ;) E deux applications.
1°/ Montrer qu'il existe une application h :G ;) F telle que g=foh si et seulement si :g(G);)f(F)
2°/ A quelle condition h est-elle unique?

[mrif]

Bonjour, je demande de l'aide pour cet exercice j'ai beaucoup de souci pour le faire:

Soit f:F E et g:G E deux applications.
1°/ Montrer qu'il existe une application h :G F telle que g=foh si et seulement si :g(G);)f(F)
2°/ A quelle condition h est-elle unique?

Il suffit d'utiliser les hypothèses:

1)
C.N: on définit h par h(x) = un antécédent de g(x) puisque g(x) appartient à l'image de f
C.S: h(G) E donc f(h(G)) f(E) ce qui donne g(G) f(F)

2) Par construction de h, l'unicité est obtenue si la restriction de f à est injective. Une condition moins fine est que f soit injective.

[samirou]

g(G)=f(h(G)) et h(G);)F donc f(g(G)) ;) f(F) d'où g(G);)f(F)

Mais comment passer de g(G);)f(F) pour aboutir à g=foh

[mrif]

g(G)=f(h(G)) et h(G);)F donc f(g(G)) f(F) d'où g(G);)f(F)

Mais comment passer de g(G);)f(F) pour aboutir à g=foh

On définit h par h(x) = un antécédent de g(x). g(x) a bien un antécédent par f puisque g(G) f(F).
donc f(h(x)) = g(x) puisque h(x) est un antécédent de g(x)