Bijection - GPGE

par **klemman** » 05 Avr 2006, 05:39

La fonction x:-> x^x étant bijective sur I=[1/e;+oo[ dans J=[f(1/e);+oo[ comment peut on trouver une fonction phi telle que :

phi(x)^phi(x) = x

en se servant j'imagine du fait que x^x est bijective...

par **quinto** » 05 Avr 2006, 11:41

klemman a écrit:La fonction x:-> x^x étant bijective sur I=[1/e;+oo[ dans J=[f(1/e);+oo[ comment peut on trouver une fonction phi telle que :

phi(x)^phi(x) = x

en se servant j'imagine du fait que x^x est bijective...

C'est juste la définition de bijective qui intervient ici...

par **klemman** » 05 Avr 2006, 16:18

oui et donc ? enfin ça ne répond pas a ma question ...

par **yos** » 05 Avr 2006, 18:21

Impossible d'exprimer phi(x) en fonction de x au moyen de fonctions usuelles!
Mais la définition implicite de =phi(x) est suffisante pour étudier phi.
Elle est croissante, sa courbe est la symétrique de celle de x^x par rapport à la première bissectrice, elle est dérivable sur l'intervalle ouvert...
Que veux-tu de plus?

par **Daragon geoffrey** » 05 Avr 2006, 20:49

slt
tu poses f(x)=x^x=e^(xln|x|) sachant que |x|=x si x positif et -x si x négatif, de plus f est dérivable sur R en tant que composée de fct dérivables sur R, et f'=(ln(-x)+1)e^xln-x donc du signe de ln(-x)+1 positif équivaut à x inf à -e^(-1), et pour x positif, f'=(ln(x)+1)e^xlnx donc du sgn de ln(x)+1 positif équivaut à x sup à e^(-1), donc sur [1/e;+inf[ (I), f est dérivable donc continu de plus f strict croissante pour tt x de cet intervalle avec limf=+inf en +inf, et f([1/e;+inf[)=[e^(-e^(-1));+inf[ (J), alor f réalise une bijection de I ds J !

par **Daragon geoffrey** » 05 Avr 2006, 20:50

pardon je sui un pu vite en besogne g mal lu ta question dsl !

par **quinto** » 06 Avr 2006, 00:43

klemman a écrit:oui et donc ? enfin ça ne répond pas a ma question ...

Bein déjà si tu acceptes que l'on ne te mache pas le travail, ca ira mieux.
Avec ce que je t'ai dit et un minimum de réflexion c'est terminé.
C'est quoi une bijection par définition? Et la définition d'une fonction réciproque?

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