Bijection, ensemble vide ...

[Monsieur23]

Bonsoir,

En relisant mon cours de maths, hier soir, j'ai vu ça :

Soient E et F deux ensembles de même cardinal n.
Soit B l'ensemble des bijections de E dans F.
#B=n!

Donc il y a une et une seule bijection de l'ensemble vide dans l'ensemble vide ?
Il n'y a pas de cas à part dans mon cours pour l'ensemble vide, donc je ne sais pas trop.

Merci de vos réponses ( ou de vos non-réponses si vous répondez pas :we: )
Mr23

[alben]

Plus généralement est-ce qu'il existe une application de l'ensemble vide dans un autre ensemble ?
Je pense que c'est une question de convention.
Je suis un peu curieux de connaître la réponse :we:

[kazeriahm]

beuh c'est en fait un problème de formalisme mais je pense (sans en etre sur) qu'on peut dire que toute les fonctions de l'ensemble vide dans lui meme sont égales puisqu'elles coincident et qu'elles sont bijectives (ce qui est évident si tu admets que la notion de fonction de l'ensemble vide a un sens)...

enfin le problème n'est pas vraiment important je pense c'est vraiment comme je l'ai dit un problème de formalisme

[Monsieur23]

Ben c'est justement là mon problème ... je voudrais bien éviter "d'admettre" l'existence de quoi que ce soit ... et éviter aussi de tomber dans des conventions si possible.

C'est que ça m'a fait passer une mauvaise nuit tout ça :zen:

Mr23

[Yipee]

Si tu prends la défintion d'une application par son graphe. Tu vois qu'une application de l'ensemble vide dans lui même est une partie du produit cartésien . Qui vérifie une propriété du type : Ce genre de propriété étant toujours vrai, tu en déduis que toute partie de est une application. Or est l'ensemble vide. Il n'a donc qu'une partie : lui même.

D'ailleurs, on démontre ainsi que pour tout ensemble E, il existe une unique application de l'ensemble vide dans E. On dit que l'ensemble vide est un objet initial de la categorie des ensembles.