Ensemble vide

[mehdi-128]

Bonjour,

J'ai des difficultés avec les raisonnements qui utilisent l'ensemble vide. Je n'arrive pas à déterminer :

Soit un ensemble.

[FLEURISTIN]

C'est immédiat par définition du complémentaire...

L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à l'ensemble vide sont tous les éléments de E.
L'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans E est vide.

[mehdi-128]

Je n'arrive pas à comprendre celui-là :

L'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à l'ensemble vide sont tous les éléments de E.

[mehdi-128]

Je ne comprends pas car

[FLEURISTIN]

Si tu devais te former l'ensemble des hommes de la Terre qui ne sont jamais allés sur la Lune, eh bien tu n'aurais pas tous les hommes de la Terre (vu que certains d'entre eux y sont déjà allés).
Mais l'ensemble de homme de la Terre qui ne sont jamais allés sur Jupiter correspond bien à tous les hommes de la Terre.

[FLEURISTIN]

Je ne comprends pas car

C'est une conséquence immédiate du fait que toute assertion commençant par "pour tout x de l'ensemble vide" est vraie.

[mehdi-128]

Je ne comprends pas car

C'est une conséquence immédiate du fait que toute assertion commençant par "pour tout x de l'ensemble vide" est vraie.

Oui mais du coup l'ensemble des éléments appartenant à et pas à l'ensemble vide sont les éléments appartenant à privé de l'ensemble vide : ?
Pas compris pourquoi on dit que c'est

[mehdi-128]

Comment montrer que : ?

[FLEURISTIN]

Attention aux notations : (en particulier )

Je ne comprends plus trop la question.
Pour deux ensembles E et F, dire que E est inclus dans F signifie que :


L'assertion : étant toujours vraie (quel que soit F), on a bien

[FLEURISTIN]

Comment montrer que : ?

Mais encore faut-il que tu vois pourquoi que le complémentaire de l'ensemble vide dans E est E.

[mehdi-128]

Je n'arrive toujours pas à comprendre pourquoi :

[FLEURISTIN]

Regarde mon message juste avant le tiens

[mehdi-128]

Oui mais justement j'essaie de démontrer que le complémentaire de l'ensemble vide dans E est E mais je n'y arrive pas. Je suis revenu à la définition mais je ne vois toujours pas.

[mehdi-128]

Je tente un raisonnement.

Montrons que :

=> Soit alors et donc

On a montré

Soit . Je ne vois pas comment montrer que

[FLEURISTIN]

Je t'ai pris plus haut une image pour comprendre : Si tu devais te former l'ensemble des hommes de la Terre qui ne sont jamais allés sur la Lune, eh bien tu n'aurais pas tous les hommes de la Terre (vu que certains d'entre eux y sont déjà allés).
Mais l'ensemble de homme de la Terre qui ne sont jamais allés sur Jupiter correspond bien à tous les hommes de la Terre.

Il ne faut pas t'attendre à justifier ça qu'avec des "x" et des "y". Parfois, le bon sens fait partie du raisonnement mathématique aussi.
Par exemple, pourquoi de pas être dans revient à dire d'être ni dans A et ni dans B ? C'est du bon sens...

[mehdi-128]

est-ce la même chose que : ?

Si oui l'affaire est réglée car si on note

On a est vraie donc .

La seconde inclusion est vérifiée. On a démontré l'équivalence.

[FLEURISTIN]

Je tente un raisonnement.

Montrons que :

=> Soit alors et donc

On a montré

Soit . Je ne vois pas comment montrer que

Cette condition est toujours vraie...
Pour tout prédicat P, si un prédicat Q est toujours vraie alors

[mehdi-128]

Je t'ai pris plus haut une image pour comprendre : Si tu devais te former l'ensemble des hommes de la Terre qui ne sont jamais allés sur la Lune, eh bien tu n'aurais pas tous les hommes de la Terre (vu que certains d'entre eux y sont déjà allés).
Mais l'ensemble de homme de la Terre qui ne sont jamais allés sur Jupiter correspond bien à tous les hommes de la Terre.

Il ne faut pas t'attendre à justifier ça qu'avec des "x" et des "y". Parfois, le bon sens fait partie du raisonnement mathématique aussi.
Par exemple, pourquoi de pas être dans revient à dire d'être ni dans A et ni dans B ? C'est du bon sens...

Dans votre exemple, je ne comprends pas le lien avec le .

[pascal16]

façon petit bras :
soit x un élément quelconque de E.
x est dans E
x n'est pas dans l'ensemble vide
x est donc dans le complémentaire dans E de l'ensemble vide.

c'est vrai pour tout élément x de E, donc pour E tout entier, l'autre inclusion est évidente, cqfd

NB : si E et F sont deux ensembles totalement différents, on note de la même manière l'ensemble vide bien que ce qu'il semble représente peut être considéré différent.

[FLEURISTIN]

x n'est pas dans l'ensemble vide

Voilà, dire ça est toujours vraie.

Grillé.