Besoin vérification démonstration

[Marguerite2521]

Bonjour, j'ai essayé de démontrer "Soient (G, .) et (G, *) deux groupes et f: G ;) G' un morphisme de groupes, si H est un sous groupe de G, f(H) est un sous groupe de G'"

Voici ma démo :
Soit H un sous groupe de G

eG ;) f(H) car eG ;) G et f(eG)=eG' et eG' ;) H' (car H' sous groupe de G')

Soient a, b ;) H
f(a . b) = f(a) * f(b)
comme a ;) H, f(a) ;) f(H) de même f(b) ;) f(H)
comme f(H) sous groupe de G', f(a) * f(b) ;) f(H)
donc f(a . b) ;) f(H) ie a.b ;) H

Soit a ;) H, comme a ;) H, f(a) ;) f(H) et comme H sous groupe de G, f(a) ;) H


Que pensez vous de ma démonstration?
Merci

[Marguerite2521]

est ce donc ça?

eG ;) H car eG ;) G et f(eG)=eG' et eG' ;) H' (car H' sous groupe de G')

Autrement la fin de ma démo est elle correcte?

Merci

[capitaine nuggets]

Salut !

A un moment donné, tu es obligé(e) d'utiliser le fait que est un morphisme de groupes i.e. pour , .

[capitaine nuggets]

voir la démo ci -dessous--->

on doit demontrer que f(H) est un sous groupe de G' sachant que H est un sous groupe de G

or on sait que puisque H est un sous groupe de G

alors pour tout x et tout y de H on vérifie x.y est dans H

de plus puisque f est un morphisme de groupe alors f(x.y)=f(x)*f(y) est dans G'

or on sait déjà que pour tout x est dans H alors f(x) est dans f(H)

pour que f(H) soit un sous groupe de G' il il faut demontrer qu'il n'existe pas x et y dans H tels que

f(x)*f(y) n'est pas dans F(H)

supposons donc que f(x)*f(y) n'est pas dans f(H)

cela signifie donc que f(x.y) n'est pas dans f(H)

or c'est impossible puisque justement pour tout z est dans H alors f(z) est dans f(H)

or puisque H est un groupe ici on peut poser z=x.y

Si tu penses avoir compris, tu peux montrer que :

Soient (G, .) et (G, *) deux groupes et f: G G' un morphisme de groupes.

Si est un sous-groupe de , alors est un sous-groupe de (il s'agit ici de l'image réciproque, n'est à priori pas bijective).

[Marguerite2521]

je n'ai pas compris pourquoi il faut démontrer ça :

pour que f(H) soit un sous groupe de G' il il faut demontrer qu'il n'existe pas x et y dans H tels que

f(x)*f(y) n'est pas dans F(H)



Voici ma démo :
J'utilise le théorème de caractérisation d'un sous groupe, je vérifie donc les trois points

Soit H un sous groupe de G

eG ;) H car eG ;) G et f(eG)=eG' et eG' ;) f(H) (car H sous groupe de G)

Soient a, b ;) H
f(a . b) = f(a) * f(b)
comme a ;) H, f(a) ;) f(H) de même f(b) ;) f(H)
comme H sous groupe de G, f(a) * f(b) ;) f(H)
donc f(a . b) ;) f(H) ie a.b ;) H

Soit a ;) H, f(a-1)= f(a)-1
comme a ;) H, f(a) ;) f(H) et comme H sous groupe de G, f(a)-1 ;) f(H)donc f(a-1) ;) f(H) ie a-1 ;) H

[Marguerite2521]

Si tu penses avoir compris, tu peux montrer que :

Si est un sous-groupe de , alors est un sous-groupe de (il s'agit ici de l'image réciproque, n'est à priori pas bijective).

Soit H' un sous groupe de Gr

eG f-1(H') car eG G et f(eG)=eG' et eG' H' car H' sous groupe de G'

Soient a, b f-1(H')
f(a.b)= f(a) * f(b)
comme a f-1(H'), f(a) H' de même f(b) H'
Comme H' sous groupe de G', f(a)*f(b) H'
donc f(a.b);)H' ie a.b f-1(H')

Soit a f-1(H'), f(a-1) = f(a)-1
comme a f-1(H'), f(a) H'
et comme H' sous groupe de G', f(a)-1 H' donc f(a-1) H' ie A-1 f-1(H')