J'AI BESOIN DE CLARIFICATIONs:!!!

[Anonyme]

Bonsoir a tous
s'il vous plait je suis variment perdu dans les implications et les equivalence et j'aimerias que quelqu'un plus expérimenté m'aide.
j'aimerais savoir si on par d'une expression qui est VALABLE POUR TOUT x et y de R et si on remplace x ou y par une valeur EST CE Q'on obtient une formule EQUIVALENT A LA PREMIERE OU SEULEMNT on doit mettre une implication????
per exemple si :
POUR TOUT x et y ona f(x+y)=f(x)+f(y) et si on remplace y par 0 on aura f(x)=2f(x) donc f(x)=0 donc est ce que l'ensemble des solutions sont les fonctions NULLES ou bien faut il faire une reciproque???
AIDEZ MOI SVP SINON JE VAIS ME PERDRE

merci par avance

[Zebulon]

Bonsoir,
ce n'est pas équivalent.
f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous x et y implique
f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0) pour tout x, ce qui implique
f(0)=0.
Ce ne sont bien sûr que des implications et c'est clair que f(0)=0 n'implique pas : "pour tous x et y, f(x+y)=f(x)+f(y)". Par exemple, prenons f la fonction carrée, alors on a f(0)=0²=0 mais
pour tous x et y appartenant à R, f(x+y)=x²+2xy+y² ce qui est différent de f(x)+f(y)=x²+y².
J'espère vous avoir un peu éclairé,
à bientôt,
Zeb.