re,
finalement, je trouve l'exo (niveau bac+1 ?) hyper intéressant à rédiger.
voili,voilou:
est une intégrale semi convergente.
en t=0, l'intégrande admet un prolongement par continuité. Tout se passe
comme si localement, on intégrait une fonction continue. non problemo.
la fonction f:
est donc bien définie sur
, continue et
On étudie maintenant l'intégrale
le but du jeu étant de montrer que c'est une intégrale semi-convergente,
en fait similaire à l'intégrande, qui est elle-même le reste d'une
intégrale semi-convergente :zen:
L'idée, c'est de formuler f, en primitivant par parties, mais pas avec la même
primitive :zen: sur l'intervalle
et sur l'intervalle
pour
comme primitive de
, on choisit
d'où
f admet un prolongement par continuité en x=0, elle est bornée sur l'intervalle compact [0;1] et donc intégrable sur [0,1].
comme primitive de
, on choisit
encore une intégration par partie. On est en train de faire une sorte de DL
de f(x):
Quand on intègre f sur
, le 1er terme donne une intégrale semi-convergente,le deuxième terme et troisième terme donnent chacun une intégrale absolument convergente.
conclusion: ce genre de démo est intéressante car elle permet d'inverser
des opérateurs que l'on pourrait qualifier de "semi-convergents"