Besoin d'aide

[Anonyme]

Bonjour, je suis en seconde année de licence d'histoire pluridisciplinaire et j'ai ce semestre des mathématiques. Mon devoir me pose quelques difficultés pouvez vous m'aider svp? Voici l'énoncé:

1) Si a et b deux nombres avec a=4b, montrer que le nombre N=100a+b est divisible par 401.(ps: cette question est simple j'ai trouvé c'est la suite qui me pose probléme)

2) Si le nombre a-4b est divisible par 401, montrer que le nombre N=100a+b est égalemnt divisible par 401.

3) Réciproquement, monter que si N=100a+b est un nombre divisible par 401, alors a-4b est divisible par 401 (indication: on pourra commencer par montrer que, si 100a+b est divisible par 401 lest également)

En espérant que qq1 puisse m'aidre... je vous remercie d'avance!

[Anonyme]

Bonjour,

2) Si le nombre a-4b est divisible par 401, montrer que le nombre N=100a+b est égalemnt divisible par 401.

si a a-4b est divisible par 401, alors il existe k un entier tel que a-4b=401.k
donc N=100a+b=100(401.k+4b)+b=401.(100.k+b)

3) Réciproquement, monter que si N=100a+b est un nombre divisible par 401, alors a-4b est divisible par 401 (indication: on pourra commencer par montrer que, si 100a+b est divisible par 401 lest également)

si N est divisible par 401 alors il existe k un entier tel que 100a+b=401.k
donc b=401.k-100a.

d'où a-4b=a-4(401.k-100a)=401a -401.4.k=401(a-4k)
qui est bien divisible par 401

[Anonyme]

Ah d'accord merci!! A la derniére question on me demande d'en déduire un moyen rapide pour déterminer si un nombre est ou non un multiple de 401? Que dois-je dire?

[Anonyme]

tu écris le nombre par exemple 160801 sous la forme 100a+b ce qui revient à faire une division par 100 ici 160801=1608x100+01
d'après l'équivalence il est divisible par 401 si et seulement si a-4b=1608-4x1=1604 l'est. Le nombre obtenu est plus petit et on recommence 1604=16x100+04
on regarde si 16-4x4=0 l'est.
Réponse il est bien divisible par 401

[yos]

tu peux remplacer 100a+b par a-4b qui est plus petit.

Exemple :
45832 est-il multiple de 401?
Il suffit de regarder 458-4*32 qui est égal à 330.
330 n'est pas multiple de 401, donc 45832 non plus.