Besoin d'aide

[yos]

1) On peut raisonner par l'absurde :
Si , on a deux entiers p et q tels que , donc 3q²=p². Mais une telle égalité est impossible car dans le premier membre, la plus grande puissance de 3 qu'on peut mettre en facteur est d'exposant impair, alors que dans le second membre, la plus grande puissance de 3 qu'on peut mettre en facteur est d'exposant pair.

2) ,
et .
D'où le résultat puisque .

[serge75]

De façon plus générale, si un entier n n'est pas un carré parfait, alors sa racine carrée est irrationnelle.
En effet, par l'absurde, si on avait avec p et q entiers. Alors on aurait .
Comme n n'est pas un carré parfait, l'un de ses facteurs premiers (noté a par la suite) apparait avec une puissance impaire dans la DFP de n.
Sa puissance (de a) dans est alors impaire, alors que sa puissance dans est paire : l'uncité de la DFP se trouve contredite.