Besoin d'aide : Extension de corps !

[barbu23]

Bonsoir à tous : :happy3:
Est ce que quelqu'un peut m'expliquer la phrase suivante ( au moyen d'un nombre d'exemples simples ) :
Si est une extension finie de degré de , alors tout élément de est algébrique sur , son degré divisant ; est donc une extension algèbrique de K.

Merci d'avance ! :happy3:

[barbu23]

Re - salut : :happy3:
Quelqu'un pourrait-t-il m'expliquer le théorème de l'élément primitif ?
Merci d'avance ! :happy3:

[Nightmare]

Salut ! :happy3:

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans ce qui est dit dans le premier post?

Pour ce qui est du théorème de l'élément primitif, il donne juste plusieurs CNS pour qu'une extension fnie soit simple et générée par un élément séparable (c'est lui qu'on appelle élément primitif). Autre façon de le dire, si L est une extension finie d'un corps K, on peut trouver un élément de L dont le corps de rupture de son polynôme minimal est exactement L.

On prend par exemple Q et son extension Q(V(2),V(3)). Cette extension est séparable et par le théorème de l'élément primitif, il existe un a tel que Q(V(2),V(3))=Q(a). Tu as déjà dû montrer dans un exercice que a=V(2)+V(3)

[yos]

Si tu prends x dans L, les nombres 1,x,x^2,...,x^n forment une partie liée de L (car il y en a n+1).
Une relation linéaire entre eux est du type P(x)=0 où P est un polynôme. Donc x est algébrique sur K.
Pour voir que le degré de x divise n, tu peux regarder le sous corps K(x) de L. Son degré sur K est le degré de x (pratiquement par définition du degré d'un élément algébrique). K(x) est un corps intermédiaire entre K et L.

[barbu23]

Si tu prends x dans L, les nombres 1,x,x^2,...,x^n forment une partie liée de L (car il y en a n+1).
Une relation linéaire entre eux est du type P(x)=0 où P est un polynôme. Donc x est algébrique sur K.
Pour voir que le degré de x divise n, tu peux regarder le sous corps K(x) de L. Son degré sur K est le degré de x (pratiquement par définition du degré d'un élément algébrique). K(x) est un corps intermédiaire entre K et L.

Oui, c'est vrai, parceque : . :++:

[barbu23]

Salut ! :happy3:

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans ce qui est dit dans le premier post?

Pour ce qui est du théorème de l'élément primitif, il donne juste plusieurs CNS pour qu'une extension fnie soit simple et générée par un élément séparable (c'est lui qu'on appelle élément primitif). Autre façon de le dire, si L est une extension finie d'un corps K, on peut trouver un élément de L dont le corps de rupture de son polynôme minimal est exactement L.

On prend par exemple Q et son extension Q(V(2),V(3)). Cette extension est séparable et par le théorème de l'élément primitif, il existe un a tel que Q(V(2),V(3))=Q(a). Tu as déjà dû montrer dans un exercice que a=V(2)+V(3)

Ah d'accord, merci ! :happy3:

[barbu23]

Et que veut dire cette phrase ? :happy3:
Soit K un corps infini inclus dans C, L une extension de degré fini de K : alors il existe a dans L tel que L=K(a)=K[a] ; a n'est pas forcément unique.

[yos]

Soit K un corps infini inclus dans C,

Pléonasme.

Soit K un corps infini inclus dans C, L une extension de degré fini de K : alors il existe a dans L tel que L=K(a)=K[a] ; a n'est pas forcément unique.

Ben ça, c'est le théorème de l'élément primitif.