Arithmetique Polynome

[Babe]

Bonjour,

voila j'ai un petit souci avec cet exercice d'arithmetique









1) Donnez le cardinal de
2) Montrez que est un majorant du cardinal de
3)En deduire un minorant du nombre de polynome irreductible
4) Que peut on dire quand n premier
5) Donnez tous les polynomes irrecductibles de et verifiez le resultat precedent

je patoge dans le potage

merci d'avance

[alben]

Bonjour,

Il faut d'abord que tu répondes à la question 0 : Quel est le cardinal de Z/nZ.
Ensuite ça devrait aller

[Babe]

edit: j'avais ecris une horreur

[Babe]

je dirait que le cardinal de Z/nZ est egal à n ?

[alben]

La deuxième partie de ta phrase est exacte, pas la première.
Z/nZ, c'estun ensemble des classes d'équivalence. On peut l'assimiler à celui des restes dans la division euclidienne par n. Par exemple, lorsqu'on divise par 4, le reste peut être 0 ou 1 ou 2 ou 3.
edit : j'avais pas vu ton dernier message.
OK maintenant combien de couples (a,b) et de paires ?

[Babe]

La deuxième partie de ta phrase est exacte, pas la première.

pas compris c'est a dire ?

Z/nZ, c'estun ensemble des classes d'équivalence. On peut l'assimiler à celui des restes dans la division euclidienne par n. Par exemple, lorsqu'on divise par 4, le reste peut être 0 ou 1 ou 2 ou 3.

oui c'est comme cela que j'ai compté, donc le cardinal est bien n ?

[alben]

Oui les messages s'emmêlent un peu.
J'ai corrigé le dernier et insisté sur le fait que le rôle de a eet b n'est pas identique à celui de mu et lambda

[Babe]

je dirais n possibilité pour a et n pour b
donc Card= 2n ?

[alben]

Perdu : ça se multiplie (essaie d'écrire tous les cas avec n=3)

[Babe]

Perdu : ça se multiplie (essaie d'écrire tous les cas avec n=3)

oui c'est debile d'avoir ajouter
on obtiens donc

[alben]

OK et pour Card(Fn) ?

[Babe]

je dois distinguer les cas et ?

[alben]

Non c'est simplement que mu et lambda sont des racines (au signe près), donc (2,3) et (3,2) correspondent au même polynome, il ne faut pas les compter deux fois

[Babe]

j'ai essayé pour n=3 ==> card=6, pour n=4 => card=10
ca ressemble fort à la somme des k...
ca tombe bien
enfin c'est assez intuitif la, il dois y avoir mieux comme redaction :we:

[alben]

Tu peux le faire à la main :
pour peut prendre toutes les valeurs de 0 à n-1
pour peut prendre toutes les valeurs de 1 à n-1
pour peut prendre la seule valeur n
puisqu'on ne veut pas de répétitions
et là tu peux faire l'addition
Ou plus directement : il s'agit de prendre 2 valeurs parmi n+1, (la n+1 ième c'est "bis") l'ordre n'ayant pas d'importance soit

[Babe]

pour la 3 il entende quoi par polynome irreductible ?

[Sylar]

Polynôme dont les seuls diviseurs sont les éléments inversibles ou les polynômes U.P où U est un polynôme inversible.

[alben]

Un polynome irréductible, c'est un polynome qui ne peut pas être divisé par un autre de degré au moins égal à 1.
Par exemple (X-1)(X-2) est réductible puis qu'il se divise par X-1.
Tu peux considérer que réductible, ça veut dire "factorisable", enfin si le mot existait.
Ca veut donc dire, puisque nos polynomes sont de degré 2 que irréductible est équivalent à "pas de racine".
Toutefois, pour la suite, il faut se méfier, dans Z/nZ si n n'est pas premier, un polynome du second degré peut avoir plus de deux racines.
Par exemple avec n=6, X²-X a trois racines : 0 1 et aussi 4 et X²+3X+2 en a 4 (1,2,4,5)
Edit : oui, la définition de Sylar est plus rigoureuse, pas forcément plus comprehensible

[Babe]

Edit : oui, la définition de Sylar est plus rigoureuse, pas forcément plus comprehensible

oui d'accord avec toi alben
merci vais voir ce que ca donne pour la suite

[Babe]

je vois pas comment faut proceder pour la 3 :mur: