Arithmetique Polynome

par **alben** » 17 Aoû 2007, 20:46

Tu as trouvé
Que le nombre de polynômes est égale à n²
Que le nombre de paires de racines est égale à n(n+1)/2. Donc il y a au plus n(n+1)/2 polynomes réductibles (il y en peut-être moins si deux paires de racines redonnent le même polynome).
Donc, il y au moins ...

par **Babe** » 17 Aoû 2007, 22:27

....n² - n(n+1)/2= n(n-1)/2

par **Babe** » 18 Aoû 2007, 10:10

"4) Que peut on dire quand n premier"

l'anneau Z/nZ forme un corps mais je crois pas que ce soit la question
si n premier le polynome ne peut avoir plus de deux racines

par **alben** » 18 Aoû 2007, 10:56

Oui c'est bien ça mais les deux sont liés.
si a+b=a'+b' et ab=a'b' (a,b et a',b' étant deux paires de racines qui engendrent le même polynôme) alors a(b'-a)=a'(b'-a) => a=b' ou a=a' (car un corps est un anneau intègre). et si a=b' alors b=a' ...
Donc ce n'est plus un minorant mais le nb exact de polynomes irréductibles :we:

par **Babe** » 18 Aoû 2007, 11:16

donc quand n premier n(n-1)/2 est le nombre de polynome irreductible
quand n pas premier n(n-1)/2 minorant du nombre de polynome irreductible

par **alben** » 18 Aoû 2007, 11:28

oui, il te reste à trouver les trois irréductibles quand n=3 !

par **Babe** » 18 Aoû 2007, 12:41

je dirais pour n=3 les 3 polynome irreductible sont pour

par **alben** » 18 Aoû 2007, 12:59

Babe a écrit:je dirais pour n=3 les 3 polynome irreductible sont pour

Surtout pas,

, parfaitement factorisable.
Il te faut faire la démarche suivie en 1 et 2 : écrire tous les polynomes, effectuer les produits

pour toutes les possibilités.
Pointer les polynomes obtenus en barrant ceux de la première liste.
Une autre façon de faire serait de calculer, pour chacun des 9 polynomes leur valeurs pour X=0;1 et 2 et de retenir ceux qui ne s'annulent jamais.

par **alben** » 18 Aoû 2007, 13:34

Une autre façon de faire, plus directe, c'est d'écrire que X²+aX+b n'a pas de racines. Si elles existaient elles seraient fournies par la formule habituelle. La division par deux est toujours possible dans Z/3Z, on multiplie simplement par son inverse qui est 2. De même, le discriminant est toujours positif. Il reste qu'aucun carré n'est égal à 2. Il faut donc que a²-4b=2 soit a²=2+b (car 4=1 modulo 3). si a=0, b=1...

par **Babe** » 18 Aoû 2007, 14:55

merci alben pour ta precieuse aide

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