Arithmétique dans Z[X]

par **egan** » 17 Jan 2010, 12:52

Salut,
Vous auriez des références là dessus ?
@+ Boris.

par **abcd22** » 17 Jan 2010, 13:01

Bonjour,
La question est peu précise, comme Z est un anneau principal, donc noethérien et factoriel, Z[X] est aussi noethérien et factoriel (mais pas principal), n'importe quel livre ou cours d'algèbre commutative démontrera ces résultats (c'est-à-dire « si A est noethérien alors A[X] est noethérien » et « si A est factoriel alors A[X] est factoriel ») ainsi que d'autres résultats sur les anneaux noethériens et factoriels, mais je ne sais pas s'il y en a qui se limitent à l'étude de Z[X].

par **egan** » 17 Jan 2010, 13:05

En fait mont but c'est l'étude des pgcd dans Z[X] ?
Seulement il n'y a pas toujours de division euclidienne dans Z[X].
C'est là que les embrouilles commencent. ^^
Je ne connais pas encore les notions dont tu as parlé. Cela pourrait avoir un intérêt pour ce à quoi je m'interresse ?

par **Finrod** » 17 Jan 2010, 13:14

Il me semble me souvenir que la notion la plus importante est celle de polynôme primitif (le pgcd des coef est inversible)

j'ai fais ça en L3, je suppose donc que ça peut se trouver dans un bouquin de ce niveau.

par **Ben314** » 17 Jan 2010, 13:24

Finrod a écrit:Il me semble me souvenir que la notion la plus importante est celle de polynôme primitif (le pgcd des coef est inversible)

Je confirme. Sauf erreur, le pgcd des coeff. est appelé le "contenu" du polynôme, et il me semble que tout les problèmes de divisibilité sur Z[X] peuvent ce rammener à des problèmes dans Z (pour les contenus) et dans Q[X] pour 'le reste' (et Q[X] a le bon gout d'être euclidien...)

Le petit point délicat du début est de montrer que :
contenu(PxQ)=contenu(P)xcontenu(Q)

par **Ben314** » 17 Jan 2010, 13:26

En cherchant "contenu" sur google, je tombe là dessus :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Gauss_(polyn%C3%B4mes)
qui me parrait trés bien fait...

par **abcd22** » 17 Jan 2010, 14:01

L'existence de PGCD dans Z[X] vient du fait que Z[X] est factoriel (ce qui signifie que tout élément P peut s'écrire de façon unique (à l'orde et à multiplication des facteurs par un inversible près) sous la forme

avec u inversible et les

irréductibles). Si tu veux démontrer l'existence du PGCD dans Z[X] et comment le calculer il faudra passer par là, ce genre de choses est étudié en L3 ou M1, apparemment tu es en MPSI donc je ne sais pas si ça t'est accessible.

Comme références, là j'ai _Modern Computer Algebra_ de Joachim von zur Gathen et Jürgen Gerhard qui donne plusieurs algorithmes de calcul de PGCD dans Z[X] et démontre tous les résultats mathématiques nécessaires (chapitre 6, en particulier section 6.2 pour les démonstrations sur les anneaux factoriels (unique factorization domains en anglais), et 6.4 à 6.7 pour des méthodes plus efficaces que l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD dans Q[X] (ça sert pour le PGCD dans Z[X])), et aussi _The Art of Computer Programming_ Tome 2 (Seminumerical Algorithms) de Knuth qui en parle dans la section 4.6.1 (mais la démonstration de « A factoriel implique A[X] factoriel » est à faire dans les exercices).
Si tu veux des choses en français, on trouve plusieurs cours de L3/M1 sur le sujet, par exemple ici (chapitre 5), il donne les résultats sur les anneaux factoriels mais il ne me semble pas qu'il s'attarde sur le calcul du PGCD ensuite comme c'est fait dans les deux livres précédents.

par **egan** » 17 Jan 2010, 16:18

Ok merci pour les réponses. Mon prof de maths m'a aussi conseillé les même bouquins. ^^

Arithmétique dans Z[X]

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